[JoseDanielHoyos]

Hola a todos. Mi duda es simple, como la sugiere el titulo, cual es la diferencia (si la hay) entre aplicacion, funcion, operador, transformacion lineal?. Pues no he logrado captarla. Por ejemplo, he escuchado o leido que la derivada es una aplicacion, pero tambien una transformacion lineal, y a su vez la he visto como un operador. En muchos otros casos que he leido, se habla de aplicaciones, tal como si fuera una funcion, por lo que no encuentro la diferencia.
Gracias

[Carlos Ivorra]

No hay ninguna diferencia entre aplicación, función, operador o transformación. Simplemente, en algunos contextos es más habitual usar una expresión u otra. Por ejemplo, es más frecuente que oigas hablar de funciones cuando la imagen es el conjunto de los números reales o complejos, o incluso \( \mathbb R^n \) o \( \mathbb C^n \), pero las aplicaciones lineales con imagen en el cuerpo de escalares se llaman a veces funcionales. Operador se usa más cuando los argumentos son funciones, y transformación en contextos más geométricos.

Pero, insisto, es sólo una cuestión de estilo. Matemáticamente puedes usar siempre la palabra "aplicación" y nadie podrá decirte que estás confundiendo nada.

[luiserojas]

Hola. Más o menos la cosa es así:

Relación/Correspondencia: combinación de elementos de dos conjuntos.
Aplicación/Mapeo: Relación/Correspondencia entre dos conjuntos y que asigna un valor único en el segundo conjunto (codominio) por cada elemento del primer conjunto (dominio).
Función: Aplicación/Mapeo de un primer conjunto (dominio) en un segundo conjunto que es un cuerpo escalar (R o C).
Transformación: Aplicación/Mapeo que conserva propiedades algebraicas o geométricas entre un primer conjunto (dominio, que por lo general es un espacio) en un segundo conjunto (codominio, que también es un espacio).
Operador: Transformación de un primer conjunto (dominio, subconjunto de un espacio dado) en un segundo conjunto (codominio, subconjunto del mismo espacio dado).
Funcional: Operador lineal de un primer conjunto (dominio, espacio vectorial) en un segundo conjunto que es un cuerpo escalar (R o C).
Transformada: es una transformación de un primer conjunto (dominio, espacio de funciones) en un segundo conjunto (codominio, espacio de funciones).

La linealidad, continuidad, acotación, etc, son propiedades que se van agregando aparte de la definición básica.

Espero te sirva,

Luis E. Rojas//.

[Masacroso]

Tal y como yo lo veo es así:

Relación: define un subconjunto del conjunto producto.

Aplicación/mapeo/función: las veo igual... es la clásica definición de función.

Operador: es una función del tipo \( X^n\to X \), donde \( n \) representa la aridad del operador.

Transformación: en general es sinónimo de función lineal.

Funcional: generalmente se refiere a funciones lineales en un espacio vectorial con codominio el cuerpo del espacio vectorial.

Transformada: un tipo de morfismo. En general es un cambio de base en un espacio de funciones aunque tampoco conozco mucho del tema como para generalizar.