[Arlin]

Buenos dias muchachos.

es que estaba realizando un trabajo y me encontre con este problema

\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}\displaystyle\frac{1}{x(x+1)} \)

con respuestas
a) la serie converge
b) la serie de sumas parciales converge
c) la secuencia \( \displaystyle\frac{1}{x(x+1)} \) converge a 0
d) todas las anterioes son incorrectas


lo que pasa es que no como desarrollar una serie cuando tiene un subindice \(  K  \)y en la funcion esta \( X \), en algun lado me dijeron que solo se cambiara \( X \) por\(  K \), pero no estoy totalmente segura de que eso sea correcto. en caso de que si fuera correcto, la serie me da que converge a 1, y las sumas parciales me da que converge a 0, pero entonces la serie si es convergente? realmente estoy muy confundida. espero me puedan ayudar

[Juan Pablo Sancho]

La verdadera es la d).

Por \( \dfrac{1}{x \cdot (x+1)}  \) tenemos que \(  x \notin \{0,-1\}  \)

Entonces \( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{ x \cdot (x+1)} = \lim_{n\to +\infty} \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x \cdot (x+1)} =   \lim_{n\to +\infty} n \cdot  \dfrac{1}{x \cdot (x+1)}  \)

[mathtruco]

Hola. Tal como está escrita la respuesta es la dada por Juan Pablo. Pero me parece que, de acuerdo a lo que mencionas, el problema está mal escrito, y debiera ser

    \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k(k+1)} \)

o bien

    \( \displaystyle\sum_{x=1}^\infty\dfrac{1}{x(x+1)} \).

Si es así, tu análisis es correcto.

La duda que me queda es la parte b). Sospecho que debe decir sucesión de sumas parciales en vez de serie de sumas parciales, ya que la serie de sumas parciales diverge.