[yetsy]

Muy buenos días, escribo para solicitar ayuda con estos ejercicios. Espero me puedan ayudar. Gracias de antemano

Demostrar los siguientes Teoremas:

Teorema 1: Si \( a \) y \( b \) son números reales entonces \( a^2+b^2\geq 2ab \). (Demostración Directa).

[Luis Fuentes]

Hola

 yetsy: Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
 
 En particular:

- No debes de usar imágenes para sustituir la escritura del texto y fórmulas explícita en el mensaje.

- No debes de repetir la misma pregunta en diferentes hilos.

- Debes de indicar que has intentado y que dificultades concretas encuentras (el objetivo del foro no es hacer los deberes a nadie, sino, entre otras cosas, ayudar a que cada uno aprenda por si mismo a hacer los problemas).

 Por esta vez, hemos escrito desde la administración el enunciado de tu primer problema.

Demostrar los siguientes Teoremas:

Teorema 1: Si \( a \) y \( b \) son números reales entonces \( a^2+b^2\geq 2ab \). (Demostración Directa).

Sugerencia: Utiliza que el cuadrado de cualquier número real \( x \) es no negativo, para \( x=a-b \).

Saludos.

[yetsy]

No entiendo muy bien lo del latex. disculpen

Teorema 5: Ningun numero entero es negativo.
Quisieran que me orientaran para poder demostrar ese teorema mediante la refutación por contradicción o contraejemplo.

[EnRlquE]

Hola yetsy.

No entiendo muy bien lo del latex. disculpen

 Pues deberías leer el tutorial que enlaza el_manco en su anterior respuesta. Básicamente hay que escribir las fórmulas entre los símbolos [tex]  y  [/tex], por ejemplo para que aparezca \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) hay que escribir [tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/tex]. Trata de ver más detalles en el tutorial.

Sobre tu duda

Teorema 5: Ningun numero entero es negativo.
Quisieran que me orientaran para poder demostrar ese teorema mediante la refutación por contradicción o contraejemplo.

 Sería bueno que nos dijeras que has intentado o las dificultades que encuentras para saber qué cosas explicarte con detalle. El enunciado del teorema que escribes es falso pues por ejemplo \( -1 \) es un número entero y además es negativo.

 Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[yetsy]

Hola, el teorema 5 si lo entendí.

no logro entender el Teorema 1: Si \( a \) y \( b \) son numeros reales, entonces \( a^2 \)+\( b^2 \) \( \geq{} \)\( 2ab \)

En la demostracion directa se plantea una proposición, en la forma si p entonces q, donde p se denomina hipótesis ( condición suficiente) y q, se llama tesis o conclusión ( condición necesaria). Por ejemplo, si llueve la pista está mojada; esto es: que es una condición suficiente para que se aniegue la pista, es que llueva. Y si llueve necesariamente se moja la pista. En el contexto matemático, de la verdad de la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando proposiciones cuya certeza se conoce previamente.

[EnRlquE]

Hola yetsy.

Hola, el teorema 5 si lo entendí.

 Bien, entonces se concluye que realmente no es un teorema, ya que lo que afirma es falso.

no logro entender el Teorema 1: Si \( a \) y \( b \) son numeros reales, entonces \( a^2 \)+\( b^2 \) \( \geq{} \)\( 2ab \)

En la demostracion directa se plantea una proposición, en la forma si p entonces q, donde p se denomina hipótesis ( condición suficiente) y q, se llama tesis o conclusión ( condición necesaria). Por ejemplo, si llueve la pista está mojada; esto es: que es una condición suficiente para que se aniegue la pista, es que llueva. Y si llueve necesariamente se moja la pista. En el contexto matemático, de la verdad de la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando proposiciones cuya certeza se conoce previamente.

 Podemos seguir la indicación que dio el_manco en su anterior respuesta. Como dices, en una demostración directa hay que partir de algo verdadero para probar lo que necesitamos. Lo que usaremos como punto de partida es que cualquier número real \( x \) elevado al cuadrado es no negativo. Es decir, usaremos que \( x^{2}\geq 0 \) para todo \( x\in\mathbb{R}. \) Esto lo haremos para un valor de \( x \) que nos sea conveniente. Si tomamos \( x=a-b, \) lo que tenemos es que \( (a-b)^{2}\geq 0, \) esta desigualdad es verdadera para cualquier par de números \( a,b\in\mathbb{R}. \) Como \( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) deducimos que \( a^{2}-2ab+b^{2}\geq0 \) para todo \( a,b\in\mathbb{R}, \) por tanto ... (concluye).

 Si tienes alguna dificultad, pregunta.

Saludos,

Enrique.