[Michel]

Construir un triángulo rectángulo, conocidas las posiciones del vértice del ángulo recto y de los pies de las bisectrices de los ángulos agudos.

[Ignacio Larrosa]

Se puede hacer un poco más general: 'Construir un triángulo conocidos un vértice y los pies de las bisectrices de los otros dos vértices'. Como siempre, la respuesta tras el spoiler.

Spoiler

Construir un triángulo, conocido uno de sus vértices, \( A \), y los pies de las bisectrices de los otros vértices, \( E\textrm{ y }F \).

Se tiene que \( \angle BIC = 180^\circ - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2} = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ + \frac{\alpha}{2} \).

El incentro \( I \) es entonces la intersección de la bisectriz de  \( \angle BAC\textrm{ con el arco capaz de }EF\textrm{ de }90^\circ + \frac{\alpha}{2} \).

Se determina \( B = EI \cap{} AF\textrm{ y }C = FI \cap{} AE \), con lo que queda determinado el triángulo.

[cerrar]

Saludos,

[Michel]

Hola ilarrosa.

De acuerdo con la generalización que haces.

Yo me quedo con el problema propuesto, es decir, construir un triángulo rectángulo.


Y, como siempre, empiezo con mi estribillo: SEPR, siendo ABC el triángulo pedido, en el que A, P y Q son, respectivamente, el vértice del ángulo recta y los pies de las bisectrices de los ángulos C y B.

En el triángulo BIC: áng BIC =180º - (B/2+C/2) =180º - 45 = 135º.

Saludos.

El ángulo PIQ también vale 135º, por opuesto por el vértice con el anterior.

Entonces I está en el arco capaz de 135º sobre el segmento PQ, y también está en la bisecttiz del ángulo recto A, por lo que estará en la intersección de ambas línes.

Entonces la construcción sigue estos pasos partiendo de los tres puntos dados:
A, P y Q.

1. Ángulo recto PAQ y obtenemos las semirrectas de los catetos.
2. Arco capaz de 135º sobre el segmento PQ.
3. Bisectriz del ángulo A.
4. La intersección determina el incentro I.
5. Las semirrectas QI y PI, cuyas intersecciones con los lados del ángulo recto son los vértices B y C del triángulo pedido.

[Ignacio Larrosa]

Si, el proceso es exactamente el mismo para cualquier ángulo.

Lo que queda pendiente es cuales son las condiciones exactas para que el problema tenga solución. Tengo que pensarlo un poco.

Saludos,