[feriva]

Hurgando en los semiprimos, he descubierto un método para hallar la raíz cuadrada que es muy automático (y por desgracia no sirve sólo para los semiprimos, que es lo que yo quería).

Supongamos que queremos hallar la raíz de 943.

Lo primero que debemos estimar (esto como siempre) es cuántas cifras tiene la parte entera de dicha raíz; y como el número tiene 3 cifras en este caso, la raíz tendrá 2 ó 1 cifras.
Enseguida vemos que \( 9^2 \) se queda corto y, por tanto, tiene 2.

Entonces tomamos las dos últimas cifras de 943, o sea, 43, y dividimos normalmente para hallar sólo la parte entera:


\( 943/43
=21 \)

Seguidamente, hallamos la media del divisor y el cociente:

\( (43+21)/2=32 \)

Y repetimos el proceso con este nuevo divisor, hacemos lo de antes:


\( 943/32
=29 \) (parte entera 29)

\( (32+29)/2
=30 \)  (como antes, se saca la media)

Y volvemos a repetir:

\( 943/30
=31 \)

\( (30+31)/2
=30 \)

En este punto, se repite cociente, y eso quiere decir que ésta es la parte entera de la raíz.

Para hallar decimales, empezamos dividiendo lo mismo pero sacando decimales


\( 943/30=31.433333333333334
  \)

Al llegar aquí hay un paso que sólo se hace esta vez: hallamos la diferencia con la parte entera...


\( 31.433333333333334-30=
1.4333333333333336 \)

y la dividimos entre 2, dando


\( 0.7166666666666668 \).

Entonces, 7 es el primer decimal de la raíz.

Ahora, se repite el proceso anterior pero con los decimales: dividiendo 943 entre 30,7:

 \( 943/30.7
=30.716612377850165 \)

hallamos la media de las mantisas, análogamente a como hacíamos cuando teníamos partes enteras:


\( (0.7+0.716612377850165)/2
=0.7083061889250825 \)


Y volvemos a dividir usando esa media en el divisor:

\( 943/30. 7083061889250825=30.70830394221131 \)

Como se vuelve a repetir el cero en la segunda cifra de la mantisa, éste es su valor

(en realidad no hace falta más que ir sacando un decimal de más cada vez, esto está hecho con calculadora).

Y así iríamos sacando los decimales que se quisiera obtener, hallando las medias con las mantisas.


Con la calculadora, realmente, estamos obteniendo más cifras de una sola tacada, pues los primeros 5 decimales coinciden; la raíz hasta aquí es 30.70830.

A decir verdad, no lo he analizado del todo y no sé ahora mismo (con toda consciencia del asunto) cuál es exactamente su funcionamiento, hay parte de intuición en ello. Pero lo he probado con varios números y parece que funciona.

Probad si queréis, a ver.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Grosso modo estas aplicando el algortimo:

\(  a_{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{x}{a_n}+a_n\right)}{2} \)

 Si \( L \) es el límite de la sucesión que construimos:

\(  L=\dfrac{\left(\dfrac{x}{L}+L\right)}{2}\quad \Rightarrow{}\quad L^2=x\quad \Rightarrow{}\quad  L=\sqrt{x} \)

 El pequeño matiz está en que no tomas exactamente \( a_n \) sino que lo vas "truncando" (primero; parte entera; luego algunos decimales), pero esencialmente es lo mismo.

 Es el llamado algoritmo babilónico.

Saludos.

[feriva]

Hola

 Grosso modo estas aplicando el algortimo:

\(  a_{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{x}{a_n}+a_n\right)}{2} \)

 Si \( L \) es el límite de la sucesión que construimos:

\(  L=\dfrac{\left(\dfrac{x}{L}+L\right)}{2}\quad \Rightarrow{}\quad L^2=x\quad \Rightarrow{}\quad  L=\sqrt{x} \)

 El pequeño matiz está en que no tomas exactamente \( a_n \) sino que lo vas "truncando" (primero; parte entera; luego algunos decimales), pero esencialmente es lo mismo.

 Es el llamado algoritmo babilónico.

Saludos.

Muchísimas gracias, el_manco. Qué gusto contar con tan grandes eruditos matemáticos en este foro.

Saludos.

[Abdulai]

Es lo mismo que sacar la raíz cuadrada aplicando el método de Newton.

Sea \( f(x) = x^2-y \;\;\longrightarrow\;\; x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \dfrac{x_n^2-y}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{y}{x_n}\right) \)