[ComandoPinguino]

Saludos,agradecería mucho su ayuda con el siguiente problema.
Sean \( \vec{A}=\left<{1,2}\right> \) y \( \vec{B}=\left<{3,4}\right> \),halle los vectores \( \vec{P} \) y \( \vec{Q} \) para que se cumpla a la vez que \( A=P+Q \),\( P \) sea paralelo a \( B \) y \( Q \) Perpendicular a \( B \).
De antemano mil gracias por su ayuda

[sugata]

Un vector paralelo a B tiene su misma pendiente luego es de la forma \( (3x,4y) \)
El perpendicular sería de la forma \( (-4x,3y) \)
Luego ya es resolver las ecuaciones.

[ComandoPinguino]

Un vector paralelo a B tiene su misma pendiente luego es de la forma \( (3x,4y) \)
El perpendicular sería de la forma \( (-4x,3y) \)
Luego ya es resolver las ecuaciones.

Hola sugata,agradezco enormemente tu ayuda,no se si lo hice mal,pero no me da (no se me da para nada esto de la geometría),igualé el vector A a P y Q...
\( \left<{1,2}\right>=\left<{3x,4y}\right>+\left<{-4x,3y}\right> \) ,luego haciendo las operaciones me da el eje x del V. A,pero no el eje y,te agradecería si pudieses explicarme.
Mil gracias.

[delmar]

Hola

Denominando \( \vec{P}=(x_p,y_p), \ \ \vec{Q}=(x_q,y_q) \), se tiene :

\( A=P+Q\Rightarrow{(1,2)=(x_p,y_p)+(x_q,y_q)} \) implica las dos ecuaciones :

\( x_p+x_q=1 \) Ec. 1

\( y_p+y_q=2 \) Ec. 2

P paralelo a B implica \( \exists{\lambda \in{R}} \) tal que :

\( P=\lambda \ (3,4)\Rightarrow{(x_p,y_p)=(\lambda \ 3,\lambda 4)} \) implica :

\( x_p=\lambda \ 3 \) Ec. 3

\( y_p=\lambda \ 4 \) Ec. 4

Q perpendicular a B implica que el producto interno de ambos vectores es cero :

\( <Q,B>=0\Rightarrow{<(x_q,y_q),(3,4)>=0} \) implica :

\( 3x_q+4y_q=0 \) Ec. 5

Un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, es soluble.

Saludos

Veo que sugata a contestado, la idea va por ahí, lo detallo y lo preciso.

[sugata]

Un vector paralelo a B tiene su misma pendiente luego es de la forma \( (3x,4y) \)
El perpendicular sería de la forma \( (-4x,3y) \)
Luego ya es resolver las ecuaciones.

Hola sugata,agradezco enormemente tu ayuda,no se si lo hice mal,pero no me da (no se me da para nada esto de la geometría),igualé el vector A a P y Q...
\( \left<{1,2}\right>=\left<{3x,4y}\right>+\left<{-4x,3y}\right> \) ,luego haciendo las operaciones me da el eje x del V. A,pero no el eje y,te agradecería si pudieses explicarme.
Mil gracias.

Que raro que no te salga. Sólo es una ecuación sencilla.

\( \left<{1,2}\right>=\left<{3x,4y}\right>+\left<{-4x,3y}\right> \)
\( (1,2)=(3x-4x,4y+3y) \)
\( - 1=-x\\2=7y  \)

Igualamos componente a  componente.

[Ignacio Larrosa]

Un vector paralelo a B tiene su misma pendiente luego es de la forma \( (3x,4y) \)
El perpendicular sería de la forma \( (-4x,3y) \)
Luego ya es resolver las ecuaciones.

Hola sugata,agradezco enormemente tu ayuda,no se si lo hice mal,pero no me da (no se me da para nada esto de la geometría),igualé el vector A a P y Q...
\( \left<{1,2}\right>=\left<{3x,4y}\right>+\left<{-4x,3y}\right> \) ,luego haciendo las operaciones me da el eje x del V. A,pero no el eje y,te agradecería si pudieses explicarme.
Mil gracias.

Que raro que no te salga. Sólo es una ecuación sencilla.

\( \left<{1,2}\right>=\left<{3x,4y}\right>+\left<{-4x,3y}\right> \)
\( (1,2)=(3x-4x,4y+3y) \)
\( - 1=-x\\2=7y  \)

Igualamos componente a  componente.

Es que sugata se confundió ligeramente.  Cualquier vector paralelo al \( (3, 4) \) es de la forma \( (3p, 4p) \), de manera que la pendiente es la misma: \( \displaystyle\frac{4\cancel{p}}{3\cancel{p}} = \displaystyle\frac{4}{3} \). Y cualquiera perpendicular \( (-4q, 3q) \), pues \( (3, 4)·(-4q, 3q) = -12q + 12q = 0 \). Entonces,

\( (1, 2) = (3p, 4p) + (-4q, 3q) \)

Iguala ahora componente a componente y resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que te queda.

Saludos,

[sugata]

Tienes razón. Se me pasó ese detalle.