[ComandoPinguino]

Cordial saludo, soy nuevo en el foro, vengo a solicitar su ayuda con este problema que me tiene complicada la vida.

Dados los vectores de \( E3 \), \( A=(x,2,5) \) y \( B=(-1,3,9) \), halle el valor de \( x \) para que el vector proyección de \( A \) sobre \( B \) tenga como magnitud \( \sqrt{91} \) y sentido opuesto a \( B. \)

De antemano mil gracias por su atención.

Mensaje editado por la moderación del foro.

[EnRlquE]

Hola ComandoPinguino.

 Bienvenido al foro. La proyección de \( A \) sobre \( B \) es un vector de la forma \( \lambda B \) donde \( \lambda=\dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}. \) Lo que queremos es que \( \lambda<0 \) y que además \( \sqrt{91}=\|\lambda B\|=-\lambda\|B\|. \)

 Estas restricciones son equivalentes a resolver \( \langle B,A\rangle<0 \) y \( \sqrt{91}=\frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}. \) Intenta resolver este sistema de ecuaciones y si tienes dificultades pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. \( \langle B,A\rangle \) denota al producto interno usual de los vectores \( B \) y \( A \) en \( \mathbb{R}^{3}. \) Por otro lado, no olvides leer las reglas del foro, en particular ten presente que las expresiones matemáticas hay que escribirlas usando \( \LaTeX. \)

[ComandoPinguino]

Hola ComandoPinguino.

 Bienvenido al foro. La proyección de \( A \) sobre \( B \) es un vector de la forma \( \lambda B \) donde \( \lambda=\dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}. \) Lo que queremos es que \( \lambda<0 \) y que además \( \sqrt{91}=\|\lambda B\|=-\lambda\|B\|. \)

 Estas restricciones son equivalentes a resolver \( \langle B,A\rangle<0 \) y \( \sqrt{91}=\frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}. \) Intenta resolver este sistema de ecuaciones y si tienes dificultades pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. \( \langle B,A\rangle \) denota al producto interno usual de los vectores \( B \) y \( A \) en \( \mathbb{R}^{3}. \) Por otro lado, no olvides leer las reglas del foro, en particular ten presente que las expresiones matemáticas hay que escribirlas usando \( \LaTeX. \)

Saludos Enrique,agradezco mucho tu respuesta,haciendo lo que me indicabas obtuve que:
De \( \langle B,A\rangle<0 \) que \( x<51 \)
Y de \( \sqrt{91}=\frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}. \) que \( x=142 \) (Pregunta extra,el denominador no deberia esta elevado al cuadrado?,lo hice tal cual lo escribiste,producto punto de \( A \) Y \( B \) sobre ese denominador)
Creo que llegué a otro callejón sin salida y agradecería tu ayuda.
PS.entiendo la restriccion de la escritura de formulas,disculpame por no usarlas al escribir el problema

[ComandoPinguino]

Enrique,con la resultado del segundo sistema que me otorgaste obtuve el valor de \( x \),no obstante,te agradecería si pudieras explicarme un poco como llegaste a este sistema \( \sqrt{91}=\frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}. \) y por que era necesario  \( \langle B,A\rangle<0 \) (esto último lo pregunto porque no lo necesite para lograr la respuesta.
Mil gracias por tu ayuda

[EnRlquE]

Bien. No estoy seguro de qué partes de mi explicación anterior te quedaron claras (si algo de lo que voy a decir en seguida no te queda claro, sigue preguntando).

\( \bullet \) Si concordamos en que la proyección es de la forma \( \lambda B \) para \( \lambda=\frac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}. \) Entonces la condición de que la proyección de \( A \) sobre \( B \) tiene que tener el sentido opuesto de \( B \) se traduce en que \( \lambda<0. \) Esto quiere decir que \( \dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}<0 \) que es equivalente a que \( \langle B,A\rangle<0 \) (porque el denominador es positivo). Esto es lo que deducimos de la primera condición del problema. Por cierto, resolviendo esto se deduce que \( x{\color{blue}>}51; \) tal vez tengas un error en tus cuentas.

\( \bullet \) La otra restricción nos pide que \( \|\lambda B\|=\sqrt{91}, \) sabemos que \( \|\lambda B\|=|\lambda|\cdot\|B\|. \) Como del anterior dato sabemos que \( \lambda<0 \) entonces \( |\lambda|=-\lambda \) (nota que aquí estamos usando el dato anterior, de otro modo no sabríamos como resolver \( |\lambda| \)). Entonces

\( \|\lambda B\|=-\lambda\|B\|=-\dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}\|B\|=\dfrac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|} \) (nota que simplificamos \( \|B\| \) en la última igualdad).

Luego la segunda condición se reduce a \( \frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}=\sqrt{91}. \)


\( \bullet \) La respuesta es \( x=142 \) como obtuviste (que es mayor que 51  ).

Saludos,

Enrique.

[ComandoPinguino]

Bien. No estoy seguro de qué partes de mi explicación anterior te quedaron claras (si algo de lo que voy a decir en seguida no te queda claro, sigue preguntando).

\( \bullet \) Si concordamos en que la proyección es de la forma \( \lambda B \) para \( \lambda=\frac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}. \) Entonces la condición de que la proyección de \( A \) sobre \( B \) tiene que tener el sentido opuesto de \( B \) se traduce en que \( \lambda<0. \) Esto quiere decir que \( \dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}<0 \) que es equivalente a que \( \langle B,A\rangle<0 \) (porque el denominador es positivo). Esto es lo que deducimos de la primera condición del problema. Por cierto, resolviendo esto se deduce que \( x{\color{blue}>}51; \) tal vez tengas un error en tus cuentas.

\( \bullet \) La otra restricción nos pide que \( \|\lambda B\|=\sqrt{91}, \) sabemos que \( \|\lambda B\|=|\lambda|\cdot\|B\|. \) Como del anterior dato sabemos que \( \lambda<0 \) entonces \( |\lambda|=-\lambda \) (nota que aquí estamos usando el dato anterior, de otro modo no sabríamos como resolver \( |\lambda| \)). Entonces

\( \|\lambda B\|=-\lambda\|B\|=-\dfrac{\langle B,A\rangle}{\|B\|^{2}}\|B\|=\dfrac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|} \) (nota que simplificamos \( \|B\| \) en la última igualdad).

Luego la segunda condición se reduce a \( \frac{-\langle B,A\rangle}{\|B\|}=\sqrt{91}. \)


\( \bullet \) La respuesta es \( x=142 \) como obtuviste (que es mayor que 51  ).

Saludos,

Enrique.

Te agradezco enormemente,estoy estudiando para un parcial y por eso tengo los nervios de punta,disculpa de paso lo del mensaje,creo que a lo largo de esta noche probablemente haré algunas preguntas mas jaja ,pero bueno,de nuevo mil gracias.