[Tenochtitlan]

Hola, que tal? me podrán ayudar con este ejercicio. Eh hecho otros pero este me esta costando.

Dados A, B ,C subconjuntos de U (Universal) probar que..

\( (B-C)\cap{A}=(B\cap{A})-(C\cap{A}) \)


Saludos. Gracias!!!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, que tal? me podrán ayudar con este ejercicio. Eh hecho otros pero este me esta costando.

Dados A, B ,C subconjuntos de U (Universal) probar que..

\( (B-C)\cap{A}=(B\cap{A})-(C\cap{A}) \)

¿Qué has intentado?.

1) Puedes hacerlo elemento a elemento. Tomar \( x\in (B-C)\cap  \)A y probar que \( x\in (B\cap A)-(C\cap A) \) y luego el recíproco, tomar \( x\in (B\cap A)-(C\cap A) \) y probar que \( x\in (B-C)\cap A \)

2) Puedes usar que \( X-Y=X\cap Y^c \) (\( Y^c  \)es el complementario de \( Y \)) y usar las propiedades de la unión e intersección (asociativa, distributiva, leyes de De Morgan).

Saludos.

[Tenochtitlan]

Exacto! La idea es llegar de la primera igualdad a la otra. si, en principio pensé aplicar..

\( A-B=A\cap{\bar{B}} \)

El problema que al tener 2 intersecciones no puedo aplicar distributiva, que es lo que se supone que tendría que hacer para que me quede la igualdad.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Exacto! La idea es llegar de la primera igualdad a la otra.

No necesariamente. Transformar ambos lados de la igualdad hasta llegar a lo mismo.

si, en principio pensé aplicar..

\( A-B=A\cap{\bar{B}} \)

El problema que al tener 2 intersecciones no puedo aplicar distributiva, que es lo que se supone que tendría que hacer para que me quede la igualdad.

Tienes:

\( (B\cap A)-(C\cap A)=(B\cap A)\cap (C\cap A)^c \)

Por las leyes de De Morgan queda:

\( (B\cap A)\cap (C^c\cup A^c) \)

Por la distributiva:

\( ((B\cap A)\cap C^c)\cup ((B\cap A)\cap \color{red}A^c\color{black}) \)

¿puedes continuar...?.

Saludos.

CORREGIDO

[Tenochtitlan]

Bien..

\( ((B\cap A)\cap C^c)\cup ((B\cap A)\cap C^c) \)

por ley de idempotente\( \longrightarrow{A\cup{A=A}} \)

Nos quedaria..

\( ((B\cap A)\cap C^c) \)

por ley asociativa y conmutativa me queda asi

\( ((B\cap C^c)\cap A) \)

y por propiedad de resta me queda la igualdad.

pd: El problema es q a mi me piden que lo haga al revés.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tenía una errata; deberías de haberte dado cuenta si intentabas entender lo que yo iba haciendo  .

 Es:

\( ((B\cap A)\cap C^c)\cup ((B\cap A)\cap \color{red}A^c\color{black}) \)

Se termina no obstante casi igual.. inténtalo...

pd: El problema es q a mi me piden que lo haga al revés.

¿Cómo que te piden que lo hagas al revés?. ¿Crees que hay alguna diferencia en demostrar que \( A=B \) ó que \( B=A \)?.

Saludos.