[mpr]

Hola,

Me podrian ayudar a resolver la siguiente suma de cosenos?

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)+A_3cos(w_3 t) \)

1.) Aplicando la identidad trigonometrica \( cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}) \)

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)=2(A_1+A_2)cos(\displaystyle\frac{w_1 t+w_2 t}{2})cos(\displaystyle\frac{w_1 t-w_2 t}{2}) \)

2.) \( 2(A_1+A_2)cos(\displaystyle\frac{w_1 t+w_2 t}{2})cos(\displaystyle\frac{w_1 t-w_2 t}{2})+A_3cos(w_3 t) \)

No se como resolverlo. Me pueden ayudar?

Gracias

[Ignacio Larrosa]

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)+A_3cos(w_3 t) \)

1.) Aplicando la identidad trigonometrica \( cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}) \)

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)=2(A_1+A_2)cos(\displaystyle\frac{w_1 t+w_2 t}{2})cos(\displaystyle\frac{w_1 t-w_2 t}{2}) \)

Esa última igualdad en general es incorrecta, no se deduce de lo anterior. Es más, creo que solo es cierta si para \( w_1 \) y \( w_ 2 \) cualesquiera si \( A_1 = A_2 \).

¿No hay ninguna relación entre las \( A_i \) o las \( w_i \)?

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Me podrian ayudar a resolver la siguiente suma de cosenos?

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)+A_3cos(w_3 t) \)

Quizá sería bueno que explicases el contexto del problema. ¿A qué llamas "resolver" esa expresión? (tiene sentido resolver una ecuación, pero eso no es una ecuación). ¿Para qué quieres manipular esa suma?.

Saludos.

[mpr]

Hola,

El problema es el siguiente: Tiene un sistema de recepción de señales no lineal, donde \( y=x(t)+x^3(t) \)

\( x(t)= A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)+A_3cos(w_3 t)  \)

Indica la salida y(t)?

w: son las frecuencias
A: Amplitud de la senyal

Pero no se como sumar 3 señales de diferentes frecuencias

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)+A_3cos(w_3 t) \)

1.) Aplicando la identidad trigonometrica \( cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}) \)

\( A_1cos(w_1 t)+A_2cos(w_2 t)=2(A_1+A_2)cos(\displaystyle\frac{w_1 t+w_2 t}{2})cos(\displaystyle\frac{w_1 t-w_2 t}{2}) \)

Esa última igualdad en general es incorrecta, no se deduce de lo anterior. Es más, creo que solo es cierta si para \( w_1 \) y \( w_ 2 \) cualesquiera si \( A_1 = A_2 \).

¿No hay ninguna relación entre las \( A_i \) o las \( w_i \)?

\( A_i \) es la amplitud de la senyal que tiene como frecuencia\(  w_1 \)

Gracias

[EnRlquE]

Hola mpr.

 Si no hay datos específicos sobre las amplitudes o frecuencias, simplemente

\( y(t)=A_{1}\cos(w_{1}t)+A_{2}\cos(w_{2}t)+A_{3}\cos(w_{3}t)+[A_{1}\cos(w_{1}t)+A_{2}\cos(w_{2}t)+A_{3}\cos(w_{3}t)]^{3}. \)

Se podría operar la parte que está elevada al cubo o factorizar \( x(t) \) para dar una presentación diferente, pero al final vendría siendo lo mismo. Si lo que buscas es una forma más reducida o compacta de presentar \( y(t) \) con amplitudes y frecuencias generales, no veo cómo llegar a algo así ni la razón para hacerlo. Tal vez si nos contextualizas mejor tu pregunta comprendamos lo que estás buscando.

Saludos,

Enrique.

[Abdulai]

No se quién habrá sido el sádico que te pidió la salida para una señal compuesta por 3 frecuencias diferentes.
El inconveniente está en que es un ejercicio inútilmente largo pues para analizar qué ocurre cuando hay alinealidad en la ganancia con dos frecuencias es suficiente.

Lo que tenés que hacer es desarrollar \( \left(A_1 \cos(\omega_1 t)+A_2 \cos(\omega_2 t)+A_3 \cos(\omega_3 t)\right)^3 = A_1^3 \cos^3(\omega_1 t)+A_2^3 \cos^3(\omega_2 t)+A_3^3 \cos^3(\omega_3 t)+A_1^2A_2\cos^2(\omega_1 t)\cos^3(\omega_2 t)+A_1^2A_3\cos^2(\omega_1 t)\cos^3(\omega_3 t)+\cdots \)

y luego aplicar las identidades 
\( \cos^3(x) = \frac{1}{4}\left(\cos(3x)+3\cos(x)\right) \) 
\( \cos^2(x) = \frac{1}{2}\left(\cos(2x)+1\right) \) 
\( \cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right) \) 

Después de escribir dos horas vas a llegar a que \( y(t)=x(t) + x^3(t) \)  es una interminable suma de cosenos en frecuencias  \( \omega_1,\omega_2,\omega_3,3\omega_1,3\omega_2,3\omega_3,2\omega_1+\omega_2,2\omega_1-\omega_2,2\omega_1+\omega_3,2\omega_1-\omega_3,2\omega_2+\omega_3,2\omega_2-\omega_3,\cdots\cdots,\omega_1+\omega_2+\omega_3 \)

La conclusión es que cuando hay distorsión en la salida, además de la señal original aparecen señales cuya frecuencia son sumas y diferencias entre las frecuencias originales.

[EnRlquE]

Ya veo el objetivo del ejercicio. Básicamente lo que se pide es transformar la expresión en una suma de cosenos. Ciertamente no se busca una expresión simple o compacta como estaba pensando  .