[Michel]

Construir un triángulo rectángulo conociendo el perímetro y l aaltura relativa a la hipotenusa.

[Ignacio Larrosa]

Hago la construcción para un triángulo cualquiera, conocidos el perímetro, un ángulo y la altura relativa a ese ángulo.

Spoiler

Supongamos que es \( \alpha \) el ángulo conocido, opuesto al lado \( a \), y \( h \) la altura correspondiente.

Llevando a cada lado de \( a \) los lados \( b \) y \( c \), tenemos un segmento de longitud igual al perímetro \( p \) conocido, de extremos \( B' \) y \( C' \). En el triángulo isósceles \( B'AB \), los ángulos iguales \( ∠AB'B\textrm{ y }∠B'AB\textrm{ valen }\frac{\beta}{2} \), y en el triángulo isósceles \( C'AC \), los ángulos iguales \( ∠AC'C\textrm{ y }∠C'AC\textrm{ valen }\frac{\gamma}{2} \), por lo que:

\( ∠B'AC' = \alpha + \frac{\beta + \gamma}{2} = \alpha + \frac{180^\circ{} -  \alpha}{2} = 90^\circ{} + \frac{\alpha}{2} \)

Por tanto, \( A \) debe estar en al arco capaz de \( 90^\circ{} + \frac{\alpha}{2} \) del segmento \( B'C' \).  Como también debe estar en la paralela a B'C' a una distancia h, estará en la intersección de ambos.

Tendremos dos soluciones una o ninguna según que \( h\textrm{ sea }<,\; =\textrm{ o }> \) que

\( \frac{p}{2} \tg \left(\frac{180^\circ{} -  \alpha}{4}\right) = \frac{p}{2} \tg \left(45^\circ{} -  \frac{\alpha}{4}\right) \)

Conocido \( A \), la intersección de las mediatrices de \( AB'\textrm{ y }AC'\textrm{ con el segmento }B'C'\textrm{ nos dan los vértices }B\textrm{ y }C \) del triángulo.



Para la construcción del arco capaz, hay que tener en cuenta que si \( ∠B'AC = 90^\circ{} + \frac{\alpha}{2} \), su suplementario será \( 90^\circ{} - \frac{\alpha}{2} \), por lo que la cuerda \( B'C' \) se verá desde el centro de la circunferencia correspondiente al arco capaz con un ángulo de \( 180^\circ{} - \alpha \), y la semicuerda con un ángulo de \( 90^\circ{} - \frac{\alpha}{2} \). Por tanto, el radio de esta circunferencia en \( C' \) formará con el segmento \( B'C' \) el ángulo complementario,  \( \frac{\alpha}{2} \).

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Saludos,

[Michel]

Adjunto la figura, estática y en blanco y negro.

En el caso particular de ser triángulo se sigue, naturalmente, el mismo camino, tomando 90º+B/2+C/2=135º, pues B y C son complementarios.


Saludos.