[Michel]

Construir un cudrado conociendo la suma de la diagonal y el lado-

[EnRlquE]

Hola Michel.

 Anoto mi solución bajo el spoiler

Spoiler

Supongamos que \( \overline{AB} \) sea un segmento con la medida que conocemos. Los pasos de la construcción son los de la siguiente animación:

 Primero trazamos \( \overline{BC} \) de modo que \( m\angle ABC=45^{\circ}. \) Luego ubicamos \( D\in\overline{BC} \) de modo que \( m\angle BAD=22,5^{\circ}. \) De esta forma hemos obtenido \( \overline{BD}, \) cuya medida es la medida del lado del cuadrado que buscamos. Los pasos siguientes se reducen a aprovechar la figura para ubicar \( E \) y \( F \) (trazando perpendiculares apropiadamente), de modo que \( BDEF \) es un cuadrado con las condiciones que pide el problema.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[sugata]

¿Cómo sabemos que el ángulo que necesitamos es de \( 22.5^\circ{} \)?
¿Construyendo un cuadrado previo cualquiera o es una relación conocida?

[Michel]

Supongamos el problema resuelto, siendo ABCD el cuadrado pedido.

Introducimos en la figura el segmento dado, suma de diagonal y lado, prolongado AC y tomando CE=CB.
Se forma el triángulo isósceles BCE.

Se sabe que en todo triángulo un ángulo extrerior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes; el ángulo ACB, que vale 45º, es la suma de los dos interiores adyacentes CEB y CBE, por lo que cada uno de estos valdrá 22,5º.

Entonces del triángulo ABE conocemos un lado, AE y los dos ángulos adyacentes.

Construido este triángulo, la mediatriz de BE corta a AE en C.

La construcción del cuarto vértice D es inmediata.

Mostré el ggb directamente en el mensaje (ilarrosa)

[sugata]

Entendido.

Yo había pensado hacerlo por semejanzas.

Tenemos un cuadrado cualquiera ABCD.
Alargamos un lado a la distancia de la diagonal, teniendo EB
Ahora trazamos una recta a \( 45^\circ{} \) y ponemos sobre ella nuestro dato conocido EH.
Luego ya es trazar una recta BH y por semejanzas obtenemos la diagonal EI. Luego ya es construir.

[Michel]

Por semejanza-homotecia.

En un cuadrado arbitrrario ABCD, se prolonga la diagonal AC hasta E, tal que AE es la suma de la diagonal y el lado de ese cuadrado.

A partir de A se toma se toma el segmento AN igual al dado, suma de la diagonal y el lado del cuadrado qe buscamos.

Las perpendiculares por N a la recta AB y AD determinan los otros dos vértices del cuadrado pedido.

[Ignacio Larrosa]

Por semejanza-homotecia.

Las perpendiculares por N a la recta AB y AD determinan los otros dos vértices del cuadrado pedido.

Asi te queda un cuadrado cuya diagonal es la suma de la diagonal y el lado del que buscas. Yo creo que más bien habría que trazar la paralela por N al segmento EB. El punto B' en que corte a la recta AB determina con el A el lado del cuadrado buscado.

Saludos,

[Michel]

Efectivamente, un lamentable error achacable a la resaca carnavalesca.

Ya llega la Cuaresma.


Saludos.