[eduardo2384]

Saludos amigos, quisiera que me ayuden a resolver este ejercicio de desigualdades que no puedo dar con la respuesta. Gracias.
Aquí va:

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Si \( 1<x<\dfrac{3}{2} \) y \( -2<y<-\dfrac{1}{4} \); halle la variación de \( \dfrac{3y-2x}{xy} \).

Posibles respuestas:

a) \( \langle1;9\rangle \)
b) \( \langle3;9\rangle \)
c) \( \langle3;11\rangle \)
d) \( \langle2;10\rangle \)
e) \( \langle2;11\rangle \)

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Yo intenté trabajar con intervalos positivos:

\( 1<x<\dfrac{3}{2} \)

\( \dfrac{1}{4}<-y<2 \)

Para luego tener que:

\( \dfrac{3}{4}<-3y<6 \)

\( 2<2x<{3} \)

Luego sumando tendría que:

\( \dfrac{11}{4}<-3y+2x<9 \)

\( -9<3y-2x<-\dfrac{11}{4} \)

Después no sé como se obtendría el intervalo para \( xy \). ¿Cómo se podría proceder?

Gracias nuevamente.

[luis]

A mí se me ocurre separar \( \dfrac{3y-2x}{xy} \) en una suma de la forma \( \dfrac{a}{x} - \dfrac{b}{y} \). Luego, observando que \( y \) es negativo, podemos modificar las condiciones de \( y \) y estudiar la variación de \( \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} \). Y esa me parece ya una situación que se puede resolver.

[delmar]

Hola

Se tiene una función \( f(x,y)=\displaystyle\frac{3y-2x}{xy}=\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{2}{y} \)

Estudiando esta función :

Para un x constante, f es estrictamente creciente. en \( -2\leq{y}\leq{\displaystyle\frac{-1}{4}} \). Esto se puede demostrar, en forma básica.

Esto significa que para un x constante,  en el intervalo \( -2\leq{y}\leq{\displaystyle\frac{-1}{4}} \), el valor mínimo es \( f(x,-2) \) y el máximo \( f(x,\displaystyle\frac{-1}{4}) \)

Para un y constante, f es estrictamente decreciente. en \( 1\leq{x}\leq{\displaystyle\frac{3}{2}} \). Esto se puede demostrar, en forma básica.

Esto implica que \( f(\displaystyle\frac{3}{2},-2) \) es el menor de todos los \( f(x,-2), \ 1\leq{x}\leq{\displaystyle\frac{3}{2}} \) y como cada uno de estos es el menor de todos los \( f(x,y), \ -2\leq{y}\leq{\displaystyle\frac{-1}{4}} \), se tiene que \( f(\displaystyle\frac{3}{2},-2)=3 \) es el MINIMO de f(x,y), tal que \( x\in{[1,\displaystyle\frac{3}{2}], \ y\in{[-2,\displaystyle\frac{-1}{4}]}} \)

En forma semejante \( f(1,\displaystyle\frac{-1}{4}) \) es el mayor  de todos los \( f(x,\displaystyle\frac{-1}{4}) \) y como cada uno de estos es el mayor de los \( f(x,y), \ -2\leq{y}\leq{\displaystyle\frac{-1}{4}} \), se tiene que \( f(1,\displaystyle\frac{-1}{4})=11 \) es el MAXIMO de f(x,y), tal que \( x\in{[1,\displaystyle\frac{3}{2}], \ y\in{[-2,\displaystyle\frac{-1}{4}]}} \)

Por lo tanto la respuesta es la C) (3,11)

Saludos