Hola muchas gracias. Entendi hasta aca luego nose como seguir.
Por tanto como \( 34500=100\mod 172 \), la ecuación equivale a:
\( X^{100}\equiv{} 2\mod 173 \)
Si conoces la teoría de restos cuadráticos es sencillo, pues \( X^{100} = \left( X^{50} \right)^2 \). Basta estudiar entonces el símbolo de Legendre \( (2|173) \). El símbolo de Legendre se define como:
\( (n|p)=\begin{cases} 1 & \text{si}& nRp\\-1 & \text{si}& n\overline{R}p\end{cases} \)
donde p es un primo impar y \( n\neq{0}\, (mod\; p) \). Si \( n \equiv{0}\; (mod\, p) \), se define \( (n|p) = 0 \).
\( nRp \): \( n \) es un resto cuadrático módulo \( p \), es decir \( x^2 \equiv{} n\, (mod\; p) \) tiene soluciones.
\( n\overline{R}p \): \( n \) es un no resto cuadrático módulo \( p \), es decir \( x^2 \equiv{} n\, (mod\; p) \) no tiene soluciones.
El símbolo de Legendre se puede calcular por el criterio de Euler:
\( (n|p) \equiv{} n^{\frac{p-1}{2}}\;(mod\;p) \)
En este caso,
\( (2|173) \equiv{} 2^{\frac{173-1}{2}}= 2^{86}\;(mod\;173) \)
Esto último puede calcularse directamente descomponiendo 86 en suma de potencias de 2 y viendo cual es el resto para cada una de ellas, o utilizar el resultado
\( (2|p) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8} }= \begin{cases} 1 & \text{si}& p\equiv{\pm{1}}\;(mod\;8)\\-1 & \text{si}& p\equiv{\pm{3}}\;(mod\;8)\end{cases} \)
como \( 173\equiv{5}\equiv{-3}\;(mod\;8) \), tenemos que \( (2|173)=-1\Longrightarrow{} 2 \overline{R} 173 \) y la ecuación \( X^2 \equiv{2}\;(mod\; 173) \) carece de soluciones, y por tanto \( X^{100} \equiv{2}\;(mod\; 173) \) tampoco las tiene.
Todo lo anterior puede vere en, por ejemplo, "
Introducción a la Teoría Analítica de Números" de T.M.Apostol.
Saludos,
