[Tenochtitlan]

Hola, no se como hacer este ejercicio si alguien me puede ayudar.

-Hallar la cantidad de naturales \( n\leq{} \)3000 que son coprimos con 6 y con 10.

pd: seguramente hay mas de una forma de resolverlo se me hace.

grax

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no se como hacer este ejercicio si alguien me puede ayudar.

-Hallar la cantidad de naturales \( n\leq{} \)3000 que son coprimos con 6 y con 10.

pd: seguramente hay mas de una forma de resolverlo se me hace.

grax

Los números que buscas son los \( 3000 \) totales menos los que tienen algún factor común, con \( 6=2\cdot 3 \) y \( 10=2\cdot 5 \). Equivalentemente menos los múltiplos de \( 2,3 \) ó \( 5 \).

Si llamas \( D,T \) y \( C \) respectivamente al conjunto de múltiplos de \( 2,3 \) y \( 5 \) en el rango indicado, por el principio de inclusión-exlcusión:

\( \#(D\cup T\cup C)=\#D+\#T+\#C-\#(D\cap T)-\#(D\cap C)-\#(C\cap T)+\#(D\cap T\cap C) \)

En general para calcular el número de múltiplos de \( k \) en el rango \( [1,n] \), ten en cuenta que tal múltiplo es de la forma \( km \) con \( m \) entero verificando \( km\leq n \). De ahí se deduce que la cantidad de tales múltiplos es \( [n/k] \) siendo \( [\cdot] \) la función parte entera.

Saludos.

[feriva]

Yo juraría haber leído coprimos con 2 y 3, pero es con 6 y 10 (no sé si ha sido editada la pregunta o es que estaba medio dormido y lo he soñado) Edito.

Spoiler

Hay 3000/10=300 múltiplos de 10

Pero de éstos serán múltiplos de 6 todos los que también sean múltiplos de 3; luego hay que excluirlos:

3000/30=100;

Entonces son 500+300-100=700 que hay que restar a 3000; son 2300 coprimos.

Lo de abajo no era.



Si divides 3000 entre 2 te da 1500 mútliplos de 2. Si divides 3000 entre 3 te da 1000 múltiplos de 3.

Ahora bien, de esa cantidad de múltiplos de 3, la mitad son pares y ya están includios en los 1500, luego tienes sólo 500 múltiplos de 3 que no son pares. Entonces, la cantidad total de números que son múltiplos de 2 ó de 3 o de ambos (o sea de 6) es 2000. El resto de los números serán coprimos, es decir mil de ellos.

[cerrar]

*Esta respuesta la tenía escrita, pero al ver que estaba el_manco contestando he esperado para ver si yo estaba en lo correcto.

Saludos.

[Tenochtitlan]

Gracias me sirvió