[megasaw]

Buenas, estoy perdido y no sé cómo se resuelve esto, espero puedan ayudarme.
Para un cierto valor c, el límite

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(x^4+7x+2)^c-x}  \) es finito y no nulo. Determinar ese c y hallar el valor del limite.

[Samir M.]

Hola.

Supongamos que \( (x^4+7x+2)^c - x = k \), entonces, \( c = \dfrac{\log(x+k)}{\log(x^4 +7x+2)} \). ¿Puedes continuar?

[Juan Pablo Sancho]

Samir fue más rápido.


Para que \( x^4 + 7 \cdot x + 2  \) se comporte como \( x  \) cuando \( x \) es grande ¿cómo debería ser \( c \)?

Spoiler

\( c= \dfrac{1}{4}  \)

[cerrar]

Si \(  c > \dfrac{1}{4}  \) tenemos que el límite es \( +\infty  \)

Spoiler

\(  c = \dfrac{1}{4} + \alpha  \) con \( \alpha > 0  \)

\( \displaystyle (x^4+7 \cdot x + 2)^c - x = x \cdot [\sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{\alpha} - 1]  \)

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty}    \sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{\alpha} - 1 = +\infty  \)

[cerrar]

Si \(  c < \dfrac{1}{4}  \) tenemos que el límite es \( -\infty  \)

Spoiler

\(  c = \dfrac{1}{4} - \alpha  \) con \( \alpha > 0  \)

\( \displaystyle (x^4+7 \cdot x + 2)^c - x = x \cdot [\sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{-\alpha} - 1]  \)

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty}    \sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{-\alpha} - 1 = -1  \)

[cerrar]

[Samir M.]

Observa qué pasa con el límite si definimos \( c \) como apunta Juan Pablo (¿qué da?). Ahora observa tus condiciones en el límite. Concluye.

Spoiler

No existe \( c \) que cumpla las condiciones del enunciado

[cerrar]

Saludos.

[megasaw]

Samir fue más rápido.


Para que \( x^4 + 7 \cdot x + 2  \) se comporte como \( x  \) cuando \( x \) es grande ¿cómo debería ser \( c \)?

Spoiler

\( c= \dfrac{1}{4}  \)

[cerrar]

Si \(  c > \dfrac{1}{4}  \) tenemos que el límite es \( +\infty  \)

Spoiler

\(  c = \dfrac{1}{4} + \alpha  \) con \( \alpha > 0  \)

\( \displaystyle (x^4+7 \cdot x + 2)^c - x = x \cdot [\sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{\alpha} - 1]  \)

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty}    \sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{\alpha} - 1 = +\infty  \)

[cerrar]

Si \(  c < \dfrac{1}{4}  \) tenemos que el límite es \( -\infty  \)

Spoiler

\(  c = \dfrac{1}{4} - \alpha  \) con \( \alpha > 0  \)

\( \displaystyle (x^4+7 \cdot x + 2)^c - x = x \cdot [\sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{-\alpha} - 1]  \)

\( \displaystyle \lim_{x \to + \infty}    \sqrt[4]{1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}} \cdot (x^4+7 \cdot x + 2)^{-\alpha} - 1 = -1  \)

[cerrar]

Disculpa, cómo obtienes el \( c=\displaystyle\frac{1}{4} \) ?

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que:

\( \displaystyle (x^4 + 7 \cdot x + 2)^c = x^{4 \cdot c} \cdot (1+\dfrac{7}{x^3}  +\dfrac{2}{x^4})^c  \)

El término \(    x^{4 \cdot c }  \) "será" \( x  \) si \(  c = \dfrac{1}{4}  \) que es lo que necesitamos para que tenga un poco de sentido  la repuesta.

Mira la respuesta de Samir el demuestra la necesidad de que \( c  \) tenga que ser \( \dfrac{1}{4}  \). 

[megasaw]

Tienes que:

\( \displaystyle (x^4 + 7 \cdot x + 2)^c = x^{4 \cdot c} \cdot (1+\dfrac{7}{x^3}  +\dfrac{2}{x^4})^c  \)

Me puedes explicar qué propiedad usaste para sacar la x?
Y en cuanto a la respuesta de Samir, entiendo que reemplazó, aplico log y despejó, pero no sé cómo obtener \( \frac{1}{4} \) a partir de eso.

[Juan Pablo Sancho]

Tenemos que :

\(  (a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c  \)

Spoiler

\( \displaystyle  (a \cdot b)^c = e^{\log(a \cdot b)^c} = e^{c \cdot \log(a \cdot b)} = e^{c \cdot [\log(a) + \log(b)]} = e^{\log(a^c) + \log(b^c}  =e^{\log(a^c)} \cdot  e^{\log(b^c} = a^c \cdot b^ĉ  \)

[cerrar]

Entonces :


\( \displaystyle  (x^4+7 \cdot x + 2)^c = (x^4 \cdot (1+ \dfrac{7}{x^3}  + \dfrac{2}{x^4}))^c = x^{4 \cdot c} \cdot (1+ \dfrac{7}{x^3}  + \dfrac{2}{x^4})^c  \)



Sobre la respuesta de Samir:

\( \displaystyle \log(x^4+7 \cdot x + 2) = \log(x^4 \cdot (1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4})) = \log(x^4) +   \log(1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4}) = 4 \cdot \log(x) +   \log(1 + \dfrac{7}{x^3} + \dfrac{2}{x^4})  \)

[Ignacio Larrosa]

Ya se ha visto que para que el límite sea finito debe ser \( c = \frac{1}{4} \). En este caso, el límite tal cual está, es nulo. Un límite similar, pero no nulo, tendría lugar si hubiese un término en \( x^3 \) en el primer paréntesis. Supongamos que es:

\( L = \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}-x} \)

Se trata de un límite de la forma indeterminada \( \infty-\infty \). Podemos multiplicar y dividir por la expresión adecuada para eliminar la raíz del numerador y poder restar. Dado que es una raíz cuarta, podemos hacerlo de dos veces:

\( L = \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}-x\right)\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x\right)}{(x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x}}=
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}-x^2}{(x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x}} \)

\( \;\;=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}-x^2\right)\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}+x^2\right)}{\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x\right)\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}+x^2\right)}} = \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(x^4+bx^3 + 7x+2)-x^4}{\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x\right)\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}+x^2\right)}} \)
\( \;\;=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{bx^3 + 7x+2}{\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{4}}+x\right)\left((x^4+bx^3 + 7x+2)^{\frac{1}{2}}+x^2\right)}} \)

Dividimos ahora numerador y denominador por \( x^3 \), en el denominador el primer paréntesis por \( x \) y el segundo por \( x^2 \):

\( L = \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{b + \frac{7}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{\left((1+\frac{b}{x} + \frac{7}{x^3}+\frac{2}{x^4})^{\frac{1}{4}}+1\right)\left((1+\frac{b}{x} + \frac{7}{x^3}+\frac{2}{x^4})^{\frac{1}{2}}+1\right)}} = \frac{b}{(1+1)(1+1)} = \frac{b}{4} \)