[nemodot]

Buenas, tengo acá un problema que extraigo de un final de álgebra y geometría que no he podido resolver y con el que me vengo rebanando los sesos (simbólicamente).

El problema es así:

Sean las ecuaciones de dos planos:

\(  ax + 9y - 3z = 8  \)
\(  x + ay - z = 0  \)

Determinar el valor de \( a \) para que:

Los planos determinen una recta que corta al plano XY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas sea \( \sqrt[ ]{2} \)

Logré armar un sistema de ecuaciones para resumir lo que se plantea en la que introduje las ecuaciones de los dos planos, pero con \( z=0 \) y además otra ecuación con los puntos que están a una distancia de \( \sqrt[ ]{2} \)  del origen. Sin embargo no puedo resolver nada.

[Fernando Revilla]

Para \( z=0 \), obtienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es incompatible si \( a=\pm{3} \). Para \( a\neq{\pm{3}} \), el punto de intersección con el plano XY te dará \( \left( \displaystyle\frac{8a}{a^2-9},\displaystyle\frac{-8}{a^2-9},0\right) \)

Obligando a que la distancia de este punto al origen sea \( \sqrt[ ]{2} \), obtendrás la ecuación bicuadrada \( a^4-50a^2+49=0 \), cuyas soluciones son: \( \boxed{a=\pm{7},\;a=\pm{1}} \)

Saludos.

[nemodot]

No entendí la resolución. Lo que hice yo fue armar el siguiente sistema de ecuaciones:

\( ax + 9y - 3z = 8 \)
\( x + ay - z = 0 \)
\( z=0 \)
\( x^2 + y^2 = 2 \)

Sin embargo no puedo obtener ninguna incognita.

[Fernando Revilla]

No entendí la resolución. Lo que hice yo fue armar el siguiente sistema de ecuaciones:

\( ax + 9y - 3z = 8 \)
\( x + ay - z = 0 \)
\( z=0 \)
\( x^2 + y^2 = 2 \)

Sin embargo no puedo obtener ninguna incógnita.

Es correcto, ya tienes \( z=0 \), que sustituidas en las dos primeras ecuaciones te pemite hallar x e y en función de a.

\( ax + 9y = 8 \)
\( x + ay  = 0 \)

Resolviendo obtendrás \( x=\displaystyle\frac{8a}{a^2-9},\;y=\displaystyle\frac{-8}{a^2-9} \), que sustituidas en \( x^2+y^2=2 \) te permitirán hallar a.

Saludos.

[Jabato]

Otra forma de resolverlo sería ésta, haciendo \( z = 0 \) en las ecuaciones de los planos resulta:

\( (1)\quad ax + 9y = 8 \)    \( (2)\quad x + ay = 0 \)         ó bien   \( (3)\quad axy=8y-9y^2=-x^2 \)

que junto con     

\( (4)\quad x^2+y^2=2 \)

y eliminando x llegamos a que:

\( (5)\quad 5y^2-4y-1=0\  \)           ó bien          \( y=1,\ y= -1/5 \)

y como de (2) y (4) deducimos que:

\( (6)\quad a=\displaystyle\frac{-x}{y}=\pm{\ \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-y^2}}{y}} \)

resultan los valores de a que ya conocemos:

\( (y = 1)\Rightarrow{}(a=\pm{1}) \)               \( (y = -1/5)\Rightarrow{}(a=\pm{7}) \)

Saludos, Jabato.

[nemodot]

Lo pude hacer, lo podía hacer, pero nunca me había tocado resolver un sistema de ecuaciones como este, más que nada por la ecuación de la circunferencia de posibles puntos, nunca había visto algo semejante en un sistema de ecuaciones.

Sin embargo me parece raro que existan 4 soluciones para el valor de a. Me pareció que el ejercicio apuntaba a una solución.

[Jabato]

Pues la interpretación geométrica, que la tiene, no es difícil. Solo hay que exigir que a tome el valor adecuado para que las superficies:

\( z = 0 \)        \( ax + 9y - 3z = 8 \)        \( x + ay - z = 0 \)        \( x^2 + y^2 + z^2 = 2 \)

se corten en un punto.

Puesto que la intersección de la primera y la cuarta es una circunferencia de coordenadas paramétricas:

\( x =\sqrt[ ]{2}Cos(t) \)      \( y=\sqrt[ ]{2}Sen(t) \)        \( z=0 \)

Entrando con éstas en las ecuaciones de los planos tenemos que:

\( a = -Ctg(t) \)       \( a\ \sqrt[ ]{2}Cos(t) + 9\ \sqrt[ ]{2}Sen(t)=8 \)

de las que deducimos:

\( 10Sen^2(t)=1+4\ \sqrt[ ]{2}Sen(t) \)

ecuación que se correponde con una ecuación de segundo grado en Sen(t) que nos proporciona cuatro valores de t en el primer ciclo (dos valores del seno), y por lo tanto hay cuatro posibles puntos solución al problema y en consecuencia cuatro posibles valores de a.

Parece increible pero haciendo variar a de forma continua, la recta que es intersección de ambos planos se moverá y ocurre que corta a la circunferencia situado en XY y centrada en el origen, de radio \( \sqrt[ ]{2} \), en cuatro puntos distintos y lo hace precisamente para los valores de a ya calculados. Sería interesante poder ver una animación de como se mueve dicha recta al hacer variar a.

A ver si hubiera aquí un artista que nos lo pudiera mostrar mediante un clip. 


Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ahondando más sobre la interpretación geométrica si uno elimina el parámetro utilizando las dos ecuaciones de los planos, se obtiene la cuádrica de ecuación:

\( x^2-9y^2+3zy-zx+8y=0 \)

 Se trata de un paraboloide hiperbólico también conocido como silla de montar. Obviamente es una superficie reglada formada por dos familias uniparamétricas de rectas.

 La intersección de la cuádrica con el plano \( z=0 \) es la cónica:

\(  x^2-9y^2+8y=0 \)

 Es una hipérbola. Los puntos que nos interesan son la intersección de esta hipérbola con la circunferencia de centro \( (0,0) \) y radio \( \sqrt{2}. \)

 Es bien sabido que dos cónicas se cortan en 4 puntos, luego son de esperar cuatro soluciones.

Saludos.

P.D. También si pensamos directamente entre la intersección del paraboloide hiperbólico y la esfera, por se dos superficies de grado 2 se cortan en una curva de grado 4. Esta a su vez corta a un plano en 4 puntos: de nuevo son de esperar cuatro soluciones.

[Fernando Revilla]

Nada que objetar a las interpretaciones geométricas que se están dando. Solo añadir que intuyo que nemodot esperaba una solución porque una recta no paralela al plano \( z=0 \) corta a dicho plano exactamente en un punto. Los cuatro puntos obtenidos corresponden a cuatro rectas distintas de la familia dada, no son cuatro puntos de una misma recta.

Me parece interesante que él haya intentado una interpretación geométrica del problema pues la resolución algebraica es rutinaria.

Saludos   

 

[nemodot]

Gracias a todos, me encantó el entusiasmo que le pusieron al ejercicio.

Aunque me quedo con la resolución más simple por sistema de ecuaciones, más que nada por que este es un final de álgebra y geometría de primer año, antes de ver otras materias con cálculo vectorial o geometría en el espacio más "profunda".