Autor Tema: Método de Newton-Raphson

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19 Febrero, 2017, 07:29 pm
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Ignacio Larrosa

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Este método  de resolución numérica busca un cero de la función \( f(x) \) por aproximaciones sucesivas a partir de un valor inicial \( x_0 \). El valor sucesivo \( x_{n+1} \) es la abscisa del punto en que la tangente a la gráfica de \( f(x) \) en \( x_n \) corta al eje Ox. Es decir,

\( x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)

Es por tanto equivalente a aplicar el método de iteraciones a la función

\( g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} \)

Naturalmente es necesario que la función sea derivable. Si la raíz es múltiple, el método es inaplicable, pues la derivada se anula. Puede sustituirse \( f(x) \) por \( h(x) = \frac{f(x)}{f'(x)} \), que tiene los mismos ceros que \( f(x) \) pero todos simples.

Para poder garantizar la convergencia se requiere algún conocimiento extra de la primera y segunda derivadas. En particular, si \( f'(x) \) y \( f''(x) \) no se anulan y conservan el signo en \( [a, b] \) y \( f(x_0)·f''(x_0) > 0 \), con \( x_0 \) y la raíz pertenecientes a \( [a, b] \), el método converge. Si no se cumplen estas condiciones, el proceso probablemente sea divergente.

La aproximación en cada paso es menor que \( c = \frac{M_2}{2m_1} \) por el cuadrado de la aproximación anterior, donde \( M_2 \)  y \( m_1 \) son respectivamente el máximo de \( f''(x) \) y el mínimo de \( f'(x) \) en \( [a, b] \). Si \( c \leq{} 1 \), se duplican en tal caso el número de decimales exactos en cada iteración una vez que la aproximación es menor que 1. Cuanto mayor sea el valor de \( \left |{f'(x)}\right | \) en las proximidades de la raíz más ventajoso resulta el método y viceversa, hasta resultar inaplicable si la derivada se anula.

En el applet se puede modificar la función en la caja de entrada correspondiente. El valor \( x_0 \) de la aproximación inicial puede introducirse en su caja de entrada o desplazando con el cursor el punto \( x_0 \) en el eje Ox, aunque ya estén representadas varias iteraciones.

El número de iteraciones se puede controlar con el botón [Iteración] o con el deslizador. En principio está limitado a 20 iteraciones, pero una vez alcanzado ese limite, pulsando el botón [Iteración] se va ampliando.
 


 
Los botones [Zoom +] y [Zoom -] producen un acercamiento o alejamiento por un factor 2, centrado en el punto \( (x_i, \frac{f(x_i)}{2}) \) correspondiente a iteración actual.

También pueden seleccionarse los iconos de la barra de herramientas para hacer zoom de acercamiento o alejamiento en el punto en que se escoja con el ratón.

Igualmente puede desplazarse toda la gráfica con la herramienta correspondiente. Con ella activada, se pueden arrastrar los ejes de coordenadas para cambiar su escala de forma independiente.

Haciendo clic en el panel derecho y pulsando [CTRL] + [M] se restituye la escala estándar.
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)