Buenos días amigos, por favor les agradecería que me den una idea con el siguiente ejercicio:
\( K \) denota el conjunto de Cantor usual. Si \( X \) es un conjunto, denotamos por \( X' \) al conjunto de los puntos de acumulación de \( X \).
Diga si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
(a) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces \( X''=X' \).
(b) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existen \( a,b\in [0,1] \), con \( a<b \) y \( (a,b)\subset X' \).
(c) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existe una función continua y estrictamente creciente \( f:[0,1]\to\mathbb R \), con \( f(K)\subset X' \).
Para tener una idea, consideré \( X \) como \( X=\mathbb I\cap [0,1] \), pero \( X'=[0,1] \), pero con ese ejemplo las afirmaciones son verdaderas. Estoy pensando en otros conjuntos no numerables, pero por ahora no consigo avanzar.
Para la (c) pensé en usar la función de Cantor, pero como es no decreciente, tendría que usar una modificación.
Muchas gracias.
Saludos!!
