[Rectilíneo]

Hola,

imaginemos que tenemos un lápiz con una punta tan fina que es capaz de trazar segmentos tan pequeños como se quiera. Vamos a trazar un segmento sobre la recta de los reales que va de 0 hasta \( \sqrt{2} \).

- Empezamos alargando el segmento hasta el 1 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,4 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,4.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,41 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,41.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,414 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,414.

Y seguiríamos repitiendo este proceso durante toda la eternidad.

En cambio, si dibujamos un triangulo rectángulo con catetos que midan una unidad la hipotenusa valdrá exactamente \( \sqrt{2} \).

Mi pregunta es ¿cómo un número irracional como \( \sqrt{2} \) puede ser representado como un punto en la recta de los reales? Es decir, si tuvieramos una máquina que hiciera zoom infinito al punto \( \sqrt{2} \), ¿este estaría bien posicionado?

[robinlambada]

Hola,

imaginemos que tenemos un lápiz con una punta tan fina que es capaz de trazar segmentos tan pequeños como se quiera. Vamos a trazar un segmento sobre la recta de los reales que va de 0 hasta \( \sqrt{2} \).

- Empezamos alargando el segmento hasta el 1 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,4 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,4.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,41 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,41.
- Seguimos alargando el segmento hasta 1,414 ya que sabemos que \( \sqrt{2} \) es más grande que 1,414.

Y seguiríamos repitiendo este proceso durante toda la eternidad.

En cambio, si dibujamos un triangulo rectángulo con catetos que midan una unidad la hipotenusa valdrá exactamente \( \sqrt{2} \).

Mi pregunta es ¿cómo un número irracional como \( \sqrt{2} \) puede ser representado como un punto en la recta de los reales? Es decir, si tuvieramos una máquina que hiciera zoom infinito al punto \( \sqrt{2} \), ¿este estaría bien posicionado?

Claro. Tú mismo has dado la respuesta con la diagonal del cuadrado de lado 1, solo basta girar 45º la diagonal sobre la recta real.

[feriva]

Mi pregunta es ¿cómo un número irracional como \( \sqrt{2} \) puede ser representado como un punto en la recta de los reales? Es decir, si tuvieramos una máquina que hiciera zoom infinito al punto \( \sqrt{2} \), ¿este estaría bien posicionado?

Muy buen razonamiento, yo también me hice esa pregunta una vez.

Efectivamente, desde mi punto de vista (es una opinión personal) tiene poco sentido un número irracional si se refiere a un segmento aislado sin ser comparado con otro, porque en el fondo de todo esto duerme la cuestión de la divisibilidad (o racionalidad, que es algo similar) la cual no se puede obviar si se quiere profundizar.

Si piensas en un sólo segmento de forma aislada, siempre podremos medirlo según una unidad; lo hacemos todos los días en la práctica. Claro que entrando  en la filosofía de las cosas que no podemos ver con los ojos siempre podemos pensar que sobra o falta algo que no distinguimos y que esa unidad no es exacta para medir el segmento; pero a qué nos lleva eso. Ese error de medida sólo tendrá trascendencia (incluso desde un punto de vista abstracto, me atrevo a decir) si es apreciable de alguna manera. Y si es apreciable, entonces, se puede tomar en sí mismo como una ración o unidad de medida más pequeña que nos servirá igualmente.

Ahora bien, si tenemos dos segmentos de distinta longitud y queremos medirlos, puede que en uno sirva una unidad y, en el otro, otra; y puede, incluso, que no exista ninguna unidad o ración común a ambos para poder realizar una medida exacta; entonces es cuando surge la idea de número irracional, porque literalmente pasa eso, no existe una ración (racional) que mida con exactitud dos o más segmentos o lo que sea. 

Un segmento aislado siempre será divisible o racionalizable entre sí mismo y la unidad o ración (unidad en sentido abstracto, matemáticamente definida) por tanto, no es irracional respecto de sí mismo, tampoco puede ser “primo” por sí mismo (entre comillas, porque nos referimos en general a racionales, no sólo a enteros) porque para eso hace falta que al menos exista otro segmento que no tenga un “divisor” común.
 Intentar entender un número irracional aisladamente es como intentar entender el concepto de “arriba” sin que saber que existe el concepto de “abajo”, no es posible; la divisibilidad es cosa de dos, al menos de dos (dividendo y divisor) y la racionalidad es lo mismo que la divisibilidad pero con raciones iguales, en vez de con unidades.

Los irracionales no tienen unidad, sin embargo escribimos cosas, correctas, como \( \dfrac {\pi}{1}=\pi \) que literalmente están diciendo eso: un irracional es racional respecto de sí mismo.

Al grano. Si en un triángulo rectángulo la base y la la altura se puede medir con una misma porción o ración (sin que sobre) no implica necesariamente que esa misma ración pueda medir exactamente la hipotenusa. Particularmente, si base y altura miden 1 o miden “x”, miden lo mismo, y entonces es trivial que existe algo común para medir ambas.

 Ahora bien, con esa misma hipotenusa, con ese mismo segmento de longitud “raíz de 2” (cosa que no tiene sentido aisladamente, no es nada) podemos también formar otro nuevo triángulo cuya base y altura midan “raíz de 2”, y estamos en las de antes: qué más da decir “1” que “raíz de dos” o veinte, lo trascendental es que para ambas existe una misma medida. Y ahora surge otra hipotenusa que es igualmente irracional respecto de “raíz de 2”; pese a que, en esta ocasión, viene dada por un número entero, 2. ¿Quién es quién realmente, a qué debemos atenernos al considerar estas cosas? A los conceptos, no a los objetos como si verdaderamente existieran como cosas, números que son enteros, o racionales, y otros que no son enteros o no son racionales

Saludos.

[Rectilíneo]

Claro. Tú mismo has dado la respuesta con la diagonal del cuadrado de lado 1, solo basta girar 45º la diagonal sobre la recta real.

Sí, esto lo entiendo perfectamente. Mi duda es que por un lado \( \sqrt2 \) queda totalmente definida como la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos unitarios pero por otro lado, leyendo el razonamiento que he hecho al principio de mi primer mensaje nunca podremos llegar a obtener un segmento que valga exactamente \( \sqrt2 \).

Igualmente, en el dibujo que adjuntas, ¿exactamente dónde está el punto \( F \)? Por mucho que hicieramos zoom en ese punto nunca llegaríamos a localizarlo de manera exacta, sus decimales nunca acaban. Esto es lo que me confunde.

Muy buen razonamiento, yo también me hice esa pregunta una vez.

Efectivamente, desde mi punto de vista (es una opinión personal) tiene poco sentido un número irracional si se refiere a un segmento aislado sin ser comparado con otro, porque en el fondo de todo esto duerme la cuestión de la divisibilidad (o racionalidad, que es algo similar) la cual no se puede obviar si se quiere profundizar.

Si piensas en un sólo segmento de forma aislada, siempre podremos medirlo según una unidad; lo hacemos todos los días en la práctica. Claro que entrando  en la filosofía de las cosas que no podemos ver con los ojos siempre podemos pensar que sobra o falta algo que no distinguimos y que esa unidad no es exacta para medir el segmento; pero a qué nos lleva eso. Ese error de medida sólo tendrá trascendencia (incluso desde un punto de vista abstracto, me atrevo a decir) si es apreciable de alguna manera. Y si es apreciable, entonces, se puede tomar en sí mismo como una ración o unidad de medida más pequeña que nos servirá igualmente.

Ahora bien, si tenemos dos segmentos de distinta longitud y queremos medirlos, puede que en uno sirva una unidad y, en el otro, otra; y puede, incluso, que no exista ninguna unidad o ración común a ambos para poder realizar una medida exacta; entonces es cuando surge la idea de número irracional, porque literalmente pasa eso, no existe una ración (racional) que mida con exactitud dos o más segmentos o lo que sea. 

Un segmento aislado siempre será divisible o racionalizable entre sí mismo y la unidad o ración (unidad en sentido abstracto, matemáticamente definida) por tanto, no es irracional respecto de sí mismo, tampoco puede ser “primo” por sí mismo (entre comillas, porque nos referimos en general a racionales, no sólo a enteros) porque para eso hace falta que al menos exista otro segmento que no tenga un “divisor” común.
 Intentar entender un número irracional aisladamente es como intentar entender el concepto de “arriba” sin que saber que existe el concepto de “abajo”, no es posible; la divisibilidad es cosa de dos, al menos de dos (dividendo y divisor) y la racionalidad es lo mismo que la divisibilidad pero con raciones iguales, en vez de con unidades.

Los irracionales no tienen unidad, sin embargo escribimos cosas, correctas, como \( \dfrac {\pi}{1}=\pi \) que literalmente están diciendo eso: un irracional es racional respecto de sí mismo.

Al grano. Si en un triángulo rectángulo la base y la la altura se puede medir con una misma porción o ración (sin que sobre) no implica necesariamente que esa misma ración pueda medir exactamente la hipotenusa. Particularmente, si base y altura miden 1 o miden “x”, miden lo mismo, y entonces es trivial que existe algo común para medir ambas.

 Ahora bien, con esa misma hipotenusa, con ese mismo segmento de longitud “raíz de 2” (cosa que no tiene sentido aisladamente, no es nada) podemos también formar otro nuevo triángulo cuya base y altura midan “raíz de 2”, y estamos en las de antes: qué más da decir “1” que “raíz de dos” o veinte, lo trascendental es que para ambas existe una misma medida. Y ahora surge otra hipotenusa que es igualmente irracional respecto de “raíz de 2”; pese a que, en esta ocasión, viene dada por un número entero, 2. ¿Quién es quién realmente, a qué debemos atenernos al considerar estas cosas? A los conceptos, no a los objetos como si verdaderamente existieran como cosas, números que son enteros, o racionales, y otros que no son enteros o no son racionales

Saludos.

Lo que me queda bien claro es que no tiene sentido pensar en números irracionales de manera geométrica.
Personalmente la idea de "infinito" se me escapa totalmente de la cabeza, no estoy preparado para entenderla. Que un número tan fundamental y conocido como \( \sqrt2 \) (o \( \pi \)) tengan infinitos decimales que no se repiten es algo muy duro de asimilar para el cerebro humano.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Sí, esto lo entiendo perfectamente. Mi duda es que por un lado \( \sqrt2 \) queda totalmente definida como la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos unitarios pero por otro lado, leyendo el razonamiento que he hecho al principio de mi primer mensaje nunca podremos llegar a obtener un segmento que valga exactamente \( \sqrt2 \).

Igualmente, en el dibujo que adjuntas, ¿exactamente dónde está el punto \( F \)? Por mucho que hicieramos zoom en ese punto nunca llegaríamos a localizarlo de manera exacta, sus decimales nunca acaban. Esto es lo que me confunde.

Eso es como decir que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Por el mismo motivo, podrías pensar que es imposible localizar de forma exacta el punto 1, porque puedes dibujar el punto \( 0.9 \), y el \( 0.99 \),  y el \( 0.999 \), y necesitas infinitos pasos para llegar a \( 0.999\ldots = 1 \), claro que, también puedes dejar de perder el tiempo dando pasitos y dibujar directamente el \( 1 \).

Del mismo modo, puedes perder el tiempo dibujando \( 1.4, 1.41, 1.414, \ldots  \) o puedes dibujar directamente \( \sqrt 2 \) abatiendo la diagonal del cuadrado.

¿No ves que lo que estás diciendo es que por saber más, sabes menos?

Imagina que no sabes nada de números racionales e irracionales. Mira esta figura:

A ver si ves algún problema en cualquiera de estos pasos:

1) Trazamos una recta cualquiera AB.

2) Marcamos en ella un punto cualquiera A y un punto cualquiera B.

3) Construimos el cuadrado ABCD ¿crees que hay algún problema en construir exactamente los dos puntos adicionales C y D?

4) Trazamos la recta AC.

5) Luego trazamos las circunferencias de radios AB y AC, lo que nos determina dos puntos E y F.

¿Crees que alguno de esos puntos no está perfectamente determinado? Y todo esto lo puede hacer cualquiera que no sepa nada de racionales e irracionales.

Ahora descubres lo que son los racionales e irracionales y, de repente, algunos de estos puntos que sabías localizar perfectamente, se te antoja que ya no está claro donde están.

Pero yo te pregunto, ¿cuáles de los seis puntos A, B, C, D, E, F te parece que sí que sabes localizar y cuáles se vuelven ilocalizables por tu filosofía sobre los racionales / irraconales?

Según lo que has dicho hasta ahora, al aprender lo que son los irracionales, el F se ha vuelto ilocalizable. ¿Y el C? ¿y el E? ¿Ésos son racionales localizables o irracionales ilocalizables?

Tal vez tu respuesta sea que C = (1, 1) es localizable, pero \( E=(\sqrt 2/2,\sqrt 2/2) \) es ilocalizable. Ahora bien, eso parte del supuesto de que vas a tomar como unidad de medida el segmento AB, pero si consideras que C es "localizable", no habría ningún problema en tomar como unidad de medida el segmento AC. Para alguien que elija esa unidad de medida, sucede que la longitud AF es 1, luego F es racional y es localizable, mientras que \( AB = \sqrt 2/2 \) es irracional, luego es ilocalizable.

Fíjate, pues, que considerar que un punto es racional o irracional es algo relativo. Un mismo punto puede ser racional para ti e irracional para mí, según qué unidad de medida has elegido tú y cuál he elegido yo. Y observa que no hago trampas: según tu propio criterio, los puntos A =(0,0), B = (1,0), C =(1,1) eran todos localizables, luego yo tenía derecho a elegir como unidad AC sin colar de contrabando un "ilocalizable" como unidad de medida, y a partir de ahí tus irracionales se convierten racionales para mí.

[feriva]

Personalmente la idea de "infinito" se me escapa totalmente de la cabeza

Lo cual te honra y hace ver que eres un ser humano; si conociera a alguien que dijese lo contrario saldría corriendo con mucho susto huyendo de él

Saludos.

[Santusa]

Hola, cómo están todos:

Creo que la dificultad surge, cuando queremos asimilar objetos matemáticos al mundo físico.

Cuando decimos que  construyendo la hipotenusa de un triángulo  isósceles rectángulo cuyos catetos valen la unidad, obtenemos \( \sqrt{2} \). La construcción es una construcción matemática, los catetos, hipotenusa triángulo, son objetos matemáticos.
Cualquier intento de realizar tal construcción con cualquier instrumento físico fracasaría, tanto para
\( \sqrt{2} \) como para el número uno.
Si bien la recta real sirve para formalizar modelos del mundo físico, ninguno de estos modelos encajará totalmente con la recta real.
Pensemos que en la longitud de Planck hay tantos puntos como en toda la recta real. Sin embargo, no tenemos la menor idea de que geometría funcionaría (coherente con el mundo físico) en los confines de tal longitud.

Saludos y cariños.

[Fernando Revilla]

El conceptp de Cuerpo de ruptura de un polinomio, permite construir de manera exclusivamente algebraica \( \sqrt{2} \) (apartado (b)). Reconozco haber sentido una emoción indescriptible al estudiar esto en una asignatura de 4º curso. Era un camino distinto a los que yo conocía (diagonal del cuadrado y sucesiones de Cauchy). 

[Rectilíneo]

A ver si ves algún problema en cualquiera de estos pasos:

1) Trazamos una recta cualquiera AB.

2) Marcamos en ella un punto cualquiera A y un punto cualquiera B.

3) Construimos el cuadrado ABCD ¿crees que hay algún problema en construir exactamente los dos puntos adicionales C y D?

4) Trazamos la recta AC.

5) Luego trazamos las circunferencias de radios AB y AC, lo que nos determina dos puntos E y F.

¿Crees que alguno de esos puntos no está perfectamente determinado? Y todo esto lo puede hacer cualquiera que no sepa nada de racionales e irracionales.

Todos los puntos están perfectamente determinados después de tu explicación. Tratándolos como simplemente puntos, sin hacer diferenciación entre racional e irracional, se ve mucho más claro.


Muy interesantes y útiles todas las respuestas a la cuestión.

Gracias robinlambada, feriva, Carlos Ivorra, Santusa y Fernando Revilla.