Estaba leyendo una demostracion de el principio de inclucion y exclucion, y me he trancado cuando utiliza una identidad:
Sacamos de factor comun (-1) apartir del segundo termino, dando como resultado:
\( \displaystyle{\binom{t}{0} - \left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t}\right ) } \)
Pero: \( \displaystyle\left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t} \right) = (1-1)^t \)
Esto nos da como resultado:
\( \displaystyle \binom{t}{0} - (1-1)^t =\displaystyle \binom{t}{0} = 1 \)
En esa parte, cuando dice que Pero: \( \displaystyle\left( \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \binom{t}{3} + \binom{t}{4} + ... + (-1)^{n+1} \binom{t}{t} \right) \) es igual a \( (1-1)^t \)
¿De donde surge esto? Tengo la sensacion de que es por el teorema del binomio, pero no se justificarlo.
Si aplico el teorema del binomio para a = 1 y b = -1, obtengo:
\( (1-1)^t = \displaystyle\sum_{i=0}^{t} \binom{t}{i} 1^i (-1)^{t-i} \)
