[argentinator]

En este hilo voy a poner unas dudas y unos comentarios de la parte de Lógica de Primer Orden del libro de Lógica Matemática de Ivorra (que pueden bajar de su página web).

Espero contar con la participación de Carlos.

Lo pondré repartido en varios hilos, porque es un poco largo,
aunque quería dejar plasmadas todas las cuestiones de un solo golpe,
para que se sepa al menos hasta dónde quiero llegar.

[argentinator]

Comentarios a la Introducción
 
 Son interesantes las aclaraciones de la introducción, acerca de qué es el razonamiento informal, los números naturales intuitivos, el uso de la intuición, y la diferencia entre intuitivamente verdadero e intuitivamente evidente.
 
Haré comentarios de cosas que se dicen allí, pero otras veces de cosas que se
sobreentienden a partir de lo que se dice allí (puede que se me mezclen cosas que se dicen en capítulos posteriores).
 
 [0.1.] Se afirma ahí que el razonamiento es el que es, que ya está dado.
 
 [0.2.] Este razonamiento se aplica a alocuciones del lenguaje que han de poder tildarse de [afirmaciones] cuyo sentido está claramente establecido.
 
 [0.3.] Estar claramente establecido aparentemente sería algo que no se puede definir, sino que se infiere de la mera inspección de una alocución.
 
 [0.4.] Luego se habla del conjunto de los números naturales, entendiendo la palabra conjunto de un modo informal.
 
 [0.5.] Se dice o sobreentiende que algo es un conjunto si está claramente establecido que determinado objeto pertenece o no al conjunto en cuestión.
 
 [0.6.] En ese caso el conjunto estaría bien definido.
 
 [0.7.] Se afirma que el conjunto de los números naturales está bien definido.
 
 [0.8.] Para que un conjunto, o un universo esté bien definido,
 es también necesario que sea claro
 el sentido de que una cierta propiedad
 \(P\) es satisfecha o no por cada elemento \(a\) del conjunto.
 Es decir, dada una propiedad \(P\),
 y un elemento \(a\) del conjunto,
 ha de haber un criterio o método que
 permita determinar si \(P(a)\) es verdadera o falsa.
 
 Lo que quiero decir es que el criterio o método en cuestión ha de aplicarse por igual a toda propiedad.
 
 Por ejemplo, para los números naturales,
 el criterio o método es revisarlos uno por uno en secuencia, y
 determinar si cada número \(n\) cumple o no una determinada propiedad \(P\).
 
 ---
 
 Veamos ahora las cuestiones que me repiquetean obsesivamente el cerebro.
 
 [0.A.] Antes de hablar de razonamiento,
 hace falta hablar del sentido de
 verdad de una afirmación.
 
 El enfoque de todo el libro es que sólo hay dos valores posibles de verdad:
 verdadero o falso.
 
 Dado que hay tantas nuevas áreas de estudio en lógico que aceptan más valores de verdad, ¿acaso esas teorías son artificiales?
 Es decir, si la lógica de primer orden captura el razonamiento natural,
 ¿quiere decir esto que no es natural que haya más valores de verdad?
 
 Lo que intento decir es esto.
 Todas estas cuestiones en su conjunto:
 valores de verdad, razonamiento,
 universos (o conjuntos informales),
 criterios que determinan si algo es o no una propiedad, y que dicha propiedad es válida para cada elemento del conjunto;
 todos ellos, en su conjunto, son parte de una misma manera de trabajar.
 
 Justo se eligen universos
 y/o afirmaciones en los cuales
 los únicos valores de verdad posibles
 son verdaderos o falsos,
 y tales que las únicas reglas de razonamiento son las "clásicas".
 
  Por el contrario, lo que parece afirmarse en el texto
  es que el razonamiento y sus dos valores de verdad son una "capacidad inherente" de la mente humana,
  y que es independiente, absoluta,
  respecto al universo de discurso
  sobre el que se razona.
 
  Para el desarrollo ulterior del texto esa discusión sería irrelevante,
  ya que aún aceptando que las leyes del razonamiento fueran relativas a un universo dado,
  resulta que todos los universos (conjuntos informales) de los que luego se habla, son "lógicamente clásicos" (sólo dos valores de verdad,
  y reglas de razonamiento de primer orden).
 
  [0.B.] Cuando se habla de que una propiedad, relación o función está bien definida en un conjunto informalmente presentado,
  se presenta el ejemplo de los números naturales,
  en el que la manera de establecer si si una propiedad está bien definida es mediante
  un procedimiento, un algoritmo,
  en el que se recorren uno a uno los números naturales,
  a fin de establecer
  si cada número cumple o no la propiedad o relación, o determinar cuál es el valor de la función en cuestión.
 
  Ahora bien. No necesariamente tiene que haber un algoritmo para determinar si una propiedad tiene sentido para los objetos de un universo dado.
 
  Para el universo de la geometría del plano o del espacio,
  no me queda claro si alguno
  de esos universos es numerable. 
 
  Así que no se me ocurre una estrategia para
  dar un algoritmo que
  recorra todos los puntos del plano, digamos, y establezca
  que cumplen una propiedad
  dada \(P\) o no.
 
  Por otra parte,
  en la demostración
  del Teorema de Completitud
  del capítulo 4
  aparece una construcción
   en que claramente se expresa que no es "algorítmica",
   pero que de todos modos
   está bien definida.
   
   
  Así que entiendo que "tener un algoritmo a disposición"
  parece ser un caso particular
  del concepto de "estar bien definido".
 
  [0.C.] Parece obligatorio introducir los números naturales informales al principio de todo el texto,
  así como la noción informal de conjunto,
  para poder hablar luego de conjuntos finitos e infinitos,
  sucesiones finitas e infinitas,
  y así por el estilo.
 
  [0.D.] Luego muchas estructuras matemáticas conocidas pueden darse de manera informal, hasta cierto grado.
 
  Este sería el caso de
  sucesiones ordenadas de elementos de un conjunto
  (para poder hablar luego de expresiones de un lenguaje),
  grafos, algunas estructuras algebraicas, ciertos conjuntos de números (racionales, algebraicos, u otros),
  la geometría plana o espacial hasta cierto alcance.
 
  En todos estos ejemplos,
  parece que hay que resignarse
  a que, salvo casos concretos
  (como universos finitos),
  hay que resignarse a
  no tener claro qué es todo lo que puede saberse sobre
  ese universo,
  porque no está claro cuáles son todas las propiedades
  "bien definidas" acerca
  del universo en cuestión.
 
  Cuando digo "saberse",
  me refiero a "conocimiento
  informal",
  y no a la cuestión formal de los resultados de incompletitud.
 
 [0.E.] No me queda claro cuáles son las limitaciones que el mismo lenguaje natural impone al conocimiento que pueda obtenerse
 usando el superpower de la intuición matemática.
 
  De hecho, más adelante se demuestra que un lenguaje formal consistente
  es tal que todas sus afirmaciones (demostradas) son verdaderas en un modelo
  (con su correspondiente universo).
 
  Dado el carácter poco poético
  de las expresiones de un lenguaje formal,
  la gran mayoría de ellas
  no pueden expresarse con el lenguaje natural
  (en realidad sí, leyendo de izquierda a derecha sistemáticamente el nombre de cada signo de la expresión).
 
  Pero aún en el caso de que el idioma permita nombrar todas las expresiones de un lenguaje formal,
  no necesariamente tienen éstas que expresar todas las posibles
  propiedades bien definidas
  del universo que se esté estudiando.
 
  Pero me estoy adelantando mucho en los capítulos.
 

[argentinator]

Comentarios al capítulo 1

  Acá voy a citar un párrafo completo:
 
 

  El rigor
de un razonamiento informal (metamatemático) no se garantiza como los
matemáticos están acostumbrados a garantizar el rigor de sus razonamientos
formales (matemáticos), es decir, ajustándose a unas formas de razonamiento
prefijadas, sino que se debe garantizar semánticamente,  asegurándonos de que
todos los términos que empleamos tienen un significado preciso y de que todo
lo que decimos es verdad.
 

 
  [A.1.] En este punto uno ya toma conciencia de que hay varios niveles de abstracción en lo referido a la lógica.

Primero, uno tiene un universo
\(U\) con ciertos objetos,
y ciertas propiedades \(P\),
que hablan de los objetos \(a\)
de \(U\),
diciendo si \(P(a)\) es
verdadera o falsa.
Se supone que eso ya está dado,
o que está claro cómo es o cómo funciona en \(U\).

Luego se puede hablar de un razonamiento que involucre conectores lógicos
(con sus tablas de verdad),
y cuantificadores con el significado de "para todo \(a\) de \(U\)" y "existe algún \(a\) en \(U\)", aplicados a cualquier propiedad que tenga sentido en \(U\).

Y en un siguiente nivel de abstracción
se habla en general de universos cualesquiera, y de lo que significa razonar en ellos.

Todo esto apenas del lado semántico.

---

 

Por "conjunto" entendemos  una colección de objetos "bien
definida", en el sentido de que no haya duda sobre qué significa que un objeto sea o no uno de sus elementos. Pero, más aún, debemos exigir que no haya duda
sobre qué significa que una propiedad se cumpla para todos los objetos de \(M\),
o que exista un objeto en \(M\) que cumpla una determinada propiedad (supuesto que la propiedad esté bien definida para cada objeto).
 

 [1.B.] Eso lo cité sólo para notar que la noción de "conjunto" que se da ahí involucra no sólo a los objetos que pertenecen a la "colección", sino también a los criterios generales que permitan establecer cuándo una propiedad \(P\) aplicada a un objeto \(a\)
 de la colección es verdadera o falsa.
 
 Para los números naturales,
 el criterio establecido es el de "ir recorriendo de uno  en uno los elementos" y verificar si cumple o no la propiedad.
 
 La duda que puede surgirme aquí es si en uno de estos "conjuntos informales" se admitirían
 varios posibles criterios para establecer la validez de una propiedad. Es decir, que un criterio dado sea válido para establecer una propiedad \(P\), otro criterio para una propiedad \(Q\), etc., y que el criterio para establecer \(P\) no sea aplicable para probar \(Q\) y viceversa.
 
O sea, que los criterios de verdad de propiedades sobre
elementos de \(M\) cubran
de forma parcial el "cosmos" de las propiedades \(P(a)\), para \(a\) en \(M\).

Aunque tampoco le veo una utilidad inmediata a esta posibilidad...

[1.C.] Se aclara oportunamente que cuando se habla de un "conjunto arbitrario" \(M\), no  no queda claro lo que querría decir la palabra "arbitrario", y entonces lo que debe entenderse es que se hace un esquema de razonamiento tal que, aplicado a un conjunto específico \(M\), las afirmaciones tienen un significado concreto, y tiene sentido decir que son verdaderas o falsas.

[1.D.] De lo anterior me queda dando vueltas la reflexión de que, en la matemática formal, uno le puede dar el mismo significado a las frases "dado un conjunto \(M\)" y "para todo conjunto \(M\)".

En cambio, en el contexto metamatemático "dado" y "para todo" están diferenciados. La alocución "dado un conjunto" se refiere a una entidad específica, a la cual uno se refiere esquemáticamente.

Individualmente, puede establecerse si algo es o no es un conjunto, pero globalmente no se entiende qué es "para todo conjunto", o bien, quién es la famosa invitada de piedra: colección de todos los conjuntos.

[1.D.] Dado que se afirma que sólo los "conjuntos" son colecciones "bien definidas", entiendo, claro está, que una colección "no bien definida" no es un conjunto, en el contexto metamatemático.

Esto me trae unas dudas, pero las dejaré para el final... mmmmm

Cambiando la formulación de la cuestión, ¿se puede hablar del universo de "todos los conjuntos bien definidos"? Aparentemente tampoco, porque no está "bien definido" el concepto de "estar bien definido".


[1.E.] Aquí me aparece una nueva concepción en la jerarquía de conceptos que van surgiendo.

(a) Hay "conjuntos" que están determinados por un procedimiento, un algoritmo que prescribe sus elementos, o determina sus propiedades. Ése es el caso de \(\mathbb N\). En particular, estos conjuntos están "bien definidos". El concepto de número natural estaría "algorítmicamente bien definido".

(b) Hay "conjuntos" que están bien definidos, pero que no hay algoritmos que lo establezcan. Considero que el plano y el espacio Euclidiano son ejemplos de esto. Así que el concepto de ser un "punto" o un "segmento" de la geometría plana o espacial está "bien definido".

(c) Hay "conceptos" que están "correctamente establecidos". Todo concepto "bien definido" está "correctamente establecido", pero hay conceptos "correctamente establecidos" que no están "bien definidos". Ejemplos de esto serían el concepto de "conjunto" o el de "estar bien definido", o "ser un algoritmo". Es una noción o categoría conceptual más general, ya muy agarrada de los pelos.

No logro comprender el alcance de esto último si trato de verlo "matemáticamente". No sé si una cosa así pueda "formalizarse". Pero dado que en la matemática se aplican razonamientos a esta categoría de conceptos, debería poder expresarse de algún modo en la lógica, aunque no entiendo bien cómo vendría a encajar esto.

[1.F.] A continuación en la Sección 1.2 se definen los lenguajes formales, y todos los términos sintácticos.

Ya es un terreno más cómodo de transitar para mí, porque ahora se habla de objetos concretos, cadenas finitas de signos, tomados a su vez de un conjunto finito.

Lo que me llama la atención es el detalle de exigir que las variables tengan que ser infinitas. ¿Realmente es necesario que haya infinitas variables en un lenguaje formal?

[1.G.] También tengo una duda en la terminología empleada. En los textos de lenguajes formales de Ciencias de la Computación, un lenguaje formal es un conjunto finito de signos, junto con el conjunto de expresiones válidas del lenguaje.

En cambio, en el texto se define un lenguaje formal como el mero conjunto de signos, y sólo se añade una clasificación a esos signos. Y a partir de allí se definen las "expresiones" del lenguaje como una cosa posterior.

En el texto se llama "cadenas de signos no expresivas" a lo que en un libro de Ciencias de la Computación se llama "cadenas que no pertenecen al lenguaje".

Parecerá tonto, pero esa diferencia en las definiciones me trajo algunas confusiones de varios días.

[1.H]  Los valores de verdad, ¿pueden realmente considerarse "valores" en un conjunto \(\{F,V\}\), o hay algo en esto que es erróneo?

[1.I]  Tras arduos años logré entender la diferencia entre expresión formal y significado.
Creo que una parte de la dificultad está en el modo de trabajar en Teoría de Conjuntos,
en que se usan variables para representar conjuntos y sus elementos, pero se usan constantes para representar elementos concretos de esos conjuntos. Esas constantes son las que yo, y quizás otros también, toman como "objetos propiamente dichos", es decir, los valores de las variables. No se me hubiese ocurrido definir una "valuación", que es la operación que pone de manifiesto lo que uno hace cuando le da sentido a unos signos de una expresión escrita en un papel. Aunque la analogía con el juego de ajedrez no está de más, creo que la dificultad en despegar sintaxis de semántica, como cosas separadas, es algo que sólo se logra dándose contra la pared.

Algo que me molesta un poco respecto este tema, es que en la metamatemática también se usan símbolos informalmente para representar en abstracto expresiones genéricas.

Hay allí una operación de abstracción que, aunque queda claro en el texto qué es lo que se hace, me queda la duda de si no hay una "formalización encubierta", que afirma de sí mismo ser parte de un complejo metalenguaje.

 
[1.J.] Aparentemente hay infinitas variables, así como potencialmente infinitos relatores y funtores. Por ejemplo, si hubiera infinitos relatores \(R_i^n\), los índices \(i,n\) podrían expresarse de tal manera que se use un lenguaje \(\mathcal L\) con sólo un número finito de signos. Esto está dicho en el texto para las variables.

No obstante, el hecho de que el rango de un relator o un funtor sea un número \(n\), es una información externa, que tiene que establecer o conocer previamente la persona que se involucra con el lenguaje formal en cuestión.
Me refiero a que no hay nada implícito en los signos que representan un relator o un funtor para que deduzcamos de su mera presencia que tiene rango \(n\), sin una convención externa previa.

[1.K.] En la definición de modelo se exige que el universo sea no vacío.

Se podría igualmente desarrollar la teoría de consistencia diciendo que una teoría es contradictoria syss su único modelo es el vacío.

Creo que esto podría uniformar el tratamiento, y eventualmente podría simplificar algunas exposiciones.

[1.L.] Al dar las definiciones de  términos, fórmulas, expresiones, etc., aparecen en el texto de un modo sistemático que sólo alude a la estructura de los signos que la componen.

Más adelante se da una caracterización "recursiva" de los conceptos de "término", "fórmula", etc. En ciertos libros lo he visto introducido todo esto al revés, es decir, indicando la forma recursiva.

No sé cuál enfoque es más conveniente, pero en cualquier caso creo que lo importante es la prevención de que haya una sucesión previa de expresiones \(\theta_0,\ldots,\theta_m\),
tales que cada expresión en la lista se conforma de expresiones previas, atendiendo a ciertas reglas de construcción.
Eso evitaría que alguien como yo se queda mosqueado preguntando si acaso la recursión de estas cadenas de signos está bien construida, o si hay algún bucle o descenso infinito...

[1.M.] Valoraciones. Este tema es ciertamente algo escabroso. Una valoración asigna a cada una de las infinitas variables del lenguaje un valor en el modelo.

Supongamos que el modelo es infinito.
Acá lo molesto es que se afirma que no es posible tener una "buena definición" de lo que significa una función cualquiera de un conjunto numerable(el de las variables) en un conjunto infinito. Después de todo, una valoración es una asignación de tipo "funcional", una correspondencia de un conjunto en otro (de un conjunto de variables en un conjunto \(M\)).

Hay valoraciones que seguramente estarán bien definidas.
Por ejemplo, la que a cada \(x_i\) asigna el número natural \(i^2\) en el modelo \(\mathbb N\) de una teoría aritmética.

¿Pero acaso están permitidas valoraciones que no están bien definidas?

Más tarde se aclara que esto no es relevante, porque hay un Teorema que afirma que sólo son importantes los valores que una valoración asigna a las variables libres de una expresión, las que siempre habrán de ser una cantidad finita.

Pero igual puede que me quede una duda, porque una sucesión de pasos de una demostración tiene expresiones, tal que cada una tiene una cantidad finita, pero diferente, de variables libres.
Una variable que estaba ligada en una fórmula, puede luego quedar libre al adosarle una nueva expresión con algún conector lógico.

Por otra parte, en vez de apelar al Teorema 1.9, que afirma la irrelevancia de las variables ligadas, se podría tomar un enfoque más simple, en el que simplemente se diga que "sólo importa el valor de una valoración en las variables que figuran en una expresión dada". Después de todo, las expresiones tienen una cantidad finita de variables, por ser cadenas finitas de signos.

Otro "remedio" a la molestia de tener que considerar qué pasa con posibles valuaciones "no bien definidas", o qué sentido tiene hablar de una valuación "en general", podría ser cambiar la definición de lenguaje formal, diciendo que el número de variables es finito, aunque tan grande como haga falta.

Si hubiese \(N\) variables, una valuación tendría \(2^N\) valores posibles del modelo \(M\), y esto tendría un sentido mucho más claro, toda posible valuación estaría siempre bien definida.

[1.N.] En cuanto a las sustituciones, está claro que es una mera operación en el terreno sintáctico. No sé si habrá gente que se maree y confunda como cosas parecidas a los conceptos de "valuación" y "sustitución". La valuación es una operación mental de asignación, pero que no cambia en nada la expresión formal; mientras que una sustitución cambia una expresión por otra, haciendo un reemplazo de una variable por un término.

Ciertamente esto de la sustitución permite hacer matemática.

Pero todo esto no son más que comentarios banales.
Los pongo por las dudas, por si hay algún aspecto didáctico que tener en cuenta en esto.

[1.O.] Se agradece el cuidadoso tratamiento de las variables libres en el tema de las sustituciones. De hecho, no sé si me hubiera dado cuenta de los problemas que aparecen mencionados ahí, si no hubieran sido nombrados y explicados.

[1.P.] Una expresión como \(x=y\wedge \bigvee x\bigwedge x x^2 = x^3\), en la que la misma variable se cuantifica dos veces en forma anidada en una expresión está permitida, y además aparece libre en otra parte, está permitida. Pero no termino de entender qué sentido tienen, o si matemáticamente dicen algo correcto.

[argentinator]

Comentarios al capítulo 2.


[2.A.] Es muy detallada la explicación sobre cómo se interpretan expresiones de un lenguaje formal en un modelo \(M\), partiendo minuciosamente desde una valoración \(v\), y luego generalizando la noción de verdad a un modelo \(M\) ya independizándose de las valoraciones, y finalmente independizándose ya hasta de los modelos.

Todo ese curso de desarrollo de las reglas de inferencia semánticas está muy claro en el texto.

Sin embargo hay una cuestión que no me termina de convencer, relativa a la interpretación de una expresión, y es el hecho interesante de que el lenguaje formal genera automáticamente un conjunto  sentencias que, al ser interpretadas con una valoración \(v\) en un modelo \(M\) prefijado, quedan definidas o determinadas unas propiedades (relaciones) en \(M\).

Dicho de otra forma: el concepto de "propiedad bien definida en \(M\)" suena bastante vago, aún en el caso del universo más conocido de los números naturales. Una primer cuestión que yo me pregunto aquí es, ya que no hay modo de establecer claramente cuáles son todas las propiedades bien definidas sobre \(M\), al menos dejar establecido un sustancioso conjunto de relaciones bien definidas en \(M\).

El correlato de cada sentencia de \(\mathcal L\) en \(M\) establece una relación bien definida en \(M\).

Y lo que a mi juicio sería importante aquí, es que antes de establecer si una fórmula es verdadera o falsa, primero hay que establecer si la susodicha fórmula tiene una interpretación en todo modelo \(M\) en la forma de una afirmación bien definida allí.

Esto lo digo porque en la definición de modelo viene aparejado no sólo el conjunto, sino el requisito o exigencia de que haya un criterio que establezca si una cierta propiedad es verdadera o no en un modelo dado.

Ahora bien, me parece necesario probar que toda fórmula se puede efectivamente interpretar como una propiedad bien definida sobre elementos de un modelo \(M\), para cualquier modelo y cualquier valoración. Y sólo después seguir con los resultados que aparecen en el texto, sobre expresiones verdaderas o falsas en general.

[2.B.] En cierto lugar se dice que \(\alpha \models \beta\) se interpreta como que "es posible razonar" que en todo modelo y toda valoración, de \(M \models \alpha[v] \)  se deduce \(M \models \beta[v]\).

Lo que me inquieta de esta definición es la frase: "es posible razonar que". Me pregunto si no presenta una restricción innecesaria, porque podría darse el caso de que \(\beta[v]\) siempre sea verdadera mientras \(\alpha[v]\) lo sea, pero que esto sea así por mera gracia divina, y no porque haya algún modo de "razonarlo".

Podríamos tener hechos correlacionados "de fábrica", sin una razón que sepamos poner en evidencia, pero que siempre ocurra que \(\beta[v]\) es verdad si lo es \(\alpha[v]\).

¿Hay algún inconveniente en tomar este punto de vista en la definición de \(\models\)?

[argentinator]

Comentarios al capítulo 3.

[3.A.] Aquí de nuevo me topo con la misma objeción de antes, al definir "modelo de un sistema axiomático T". Antes de determinar si los axiomas de T se cumplen en algún modelo \(M\), primero hay que hablar de si hay propiedades "bien definidas" en el modelo que interpretan dichos axiomas, y sólo después verificar si son verdaderos. A continuación, antes de probar que todo teorema de T es verdadero en un modelo de T, antes hay que probar que todo teorema de T se refiere a una propiedad "bien definida" en el modelo.
Supongo que esta prueba se haría por inducción, sin demasiada dificultad.

[3.B.] Una vez probado ese hecho, resulta provechoso más tarde al advertir que toda "teoría aritmética" contiene propiedades cada vez más interesantes, en la medida que los axiomas se amplían o complementan de un modo u otro. Es decir, desde el terreno sintáctico se van introduciendo nuevas expresiones que, al ser interpretadas, introducen propiedades ("bien definidas") más complejas e interesantes de los números naturales mismos, que uno quizás no podría introducir fácilmente (o quizás sí) si se quedara jugando solamente en el terreno semántico en \(\mathbb N\).

[3.C.] Al introducir las teorías formales de conjuntos, en el texto no se presentan modelos explícitos, sino que se procede a postergar la cuestión hasta el capítulo siguiente construyendo un modelo para cualquier teoría no contradictoria.

Sin embargo, hay que tener certeza de que las teorías de conjuntos de la sección 3.2 son no contradictorias, así que habría que exhibir un modelo.

Sospecho que será fácil probar que el conjunto de partes finitas de \(\mathbb N\) sirve de modelo para ambas teorías: la B y la Z*.



[3.D.] El hecho de que se pueda razonar informalmente en una teoría axiomática T, acerca de  una propiedad cualquiera \(P\) en un universo, no significa que esta propiedad sea expresable formalmente.

Al introducir nuevos axiomas en la teoría T podría intentar paliarse ese problema, pero es interesante observar el caso expuesto en el texto de la paradoja de Russell, en el que se exhibe una biyección entre \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\), pero que es invisible para la teoría formal T.

Imagino que se podrían agregar axiomas nuevos, dando cuenta de la existencia de objetos de un tipo diferente al de los conjuntos típicos, una categoría diferente, y hacer formal la cuestión.

[3.E.] En el terreno de las deducciones formales, el símbolo \(\vdash\) representa una secuencia de dos o más pasos, en que ciertas cadenas de signos se transforman, mediante reglas de inferencia, en otras cadenas de signos. Esto introduce el factor "tiempo" o bien el "orden temporal" en la lógica, porque ciertos teoremas tienen que estar previamente demostrados antes que poder usarlos para deducir otros teoremas.

Hay un orden secuencial temporal.

Aparentemente todas las reglas de inferencia pueden expresarse con un algoritmo más o menos sencillo.

Pero el hecho de que aparezca aquí la necesidad de acudir al concepto de "algoritmo" me pone algo nervioso, y me dan ganas de traer a colación el capítulo de Máquinas de Turing. Pero no lo haré, porque antes de eso hay varios capítulos sobre teorías aritméticas en los que no quiero ahondar aquí.

[3.F.] Sin embargo, al menos mencionaré que la famosa Máquina de Turing aparece definida de tal manera que es una "máquina abstracta", digamos, que procesa cadenas finitas de caracteres, tomando una entrada y dejando impresa en la cinta una respuesta.

Lo que entiendo entonces es que las Máquinas de Turing sirven al propósito de estudiar cuestiones sintácticas, formales, y que con ellas nada se dice acerca del aspecto semántico de las teorías formales.

[3.G.] Otro comentario (ya del capítulo 7) sobre Máquinas de Turing, dice que la definición de Máquina de Turing sería un sistema axiomático.

Pero no entiendo exactamente el sentido de esto. Está involucrado el factor "tiempo", es decir, una secuencia ordenada de operaciones a lo largo del tiempo, que van reconfigurando la máquina hasta obtener una respuesta.

Y aún si lo entendiera, hay algo que me marea, porque como antes concluí que las Máquinas de Turing son un dispositivo que se usa para estudiar "teorías axiomáticas", me molesta pensar en el concepto de Máquina de Turing por sí mismo como un "sistema axiomático". No son lo mismo, aunque sí que es claro que el concepto de Máquina de Turing es abstracto, y que muchas "implementaciones" distintas son posibles.

[3.H.] En las normas que definen ciertos lenguajes de programación se define el "lenguaje" de modo análogo a como en el libro de lógica se definen los "lenguajes formales y sus expresiones". En dichas normas se esboza el comportamiento esperado de una "máquina". Esta "máquina" también está especificada "en abstracto", es decir, no se indican todas sus características, sino sólo algunas (por ejemplo, digamos, existencia de puntos de secuencia que separan bloques de instrucciones a lo largo del tiempo).

Lo curioso es que el "programa en ejecución" sobre una posible "máquina" se consideran el correlato "semántico" del programa escrito en un lenguaje dado.

Aún así estas "máquinas" pueden usarse para "trabajar la parte sintáctica" de una expresión de la lógica formal, sin apelar a modelos, así que desde el punto de vista matemático no estarían formando parte del terreno "semántico". Operan en el terreno sintáctico solamente.

Este uso de los términos en contextos distintos me ha sabido confundir.

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4. Comentarios al capítulo 4.

Aquí lo importante es el Teorema de Completitud de Godel, y no tuve problemas en el paso a paso de la demostración.

Todos los pasos parecían admisibles, toda vez que ya se ha admitido desde el capítulo 1 trabajar de modo que se acepten ciertas normas de "etiqueta" metamatemática.

Las únicas dudas me surgen en torno a la numerabilidad de los modelos.

Se habla de modelos numerables como dejando la puerta abierta a modelos que puedan no ser numerables, pero a su vez no está claro lo que esto quiere decir, ya que ahora se tiene que \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\) son biyectables semánticamente.

Mas, luego, se afirma que la metamatemática es formalizable en la teoría de conjuntos ZFC, la cual, suponiéndola consistente, validaría muchos resultados interesantes... vaya a saber cuáles (no me he metido en el tema, pero me voy imaginando...).

En cualquier caso, si en ZFC se construye o exhibe un modelo no numerable de una teoría axiomática, ¿significa esto que hay un modelo no numerable desde el punto de vista informal de la metamatemática? Mmmmm... Yo diría que no, porque en este caso el concepto de biyección metamatemática estaría formalizado, y vendría a significar que no existe una biyección (metamatemática) entre \(\mathbb N\) y cierto modelo no numerable... No sé si se entiende lo que digo, ni si está bien atinado.

[Carlos Ivorra]

Nunga había visto juntas tantas observaciones y preguntas tan agudas. Allá voy:

[0.1.] Se afirma ahí que el razonamiento es el que es, que ya está dado.

En efecto, en el sentido de que si coges a un alumno en un curso de lógica y le dices que de p o q puedes deducir p, en cuanto entienda lo que le estás diciendo entenderá que le estás mintiendo descaradamente, es decir, que no tienes libertad para definir qué se deduce o qué no se deduce de unas premisas dadas.

En cambio, si quieres definirle el concepto de grupo incluyendo la propiedad conmutativa, no podrá saber que "el convenio habitual" es no incluirla. Sí que tienes libertad para llamar "grupo" a lo que quieras, aunque con ello te alejes de lo que otros suelen llamar "grupo".

[0.2.] Este razonamiento se aplica a alocuciones del lenguaje que han de poder tildarse de [afirmaciones] cuyo sentido está claramente establecido.
 
 [0.3.] Estar claramente establecido aparentemente sería algo que no se puede definir, sino que se infiere de la mera inspección de una alocución.

Bueno, no sólo de la mera inspección. Si digo que "Juan es adecuado", no puedo decir si eso tiene un significado preciso sin más que leer esa única frase. Dependerá de si antes he dado una definición precisa de "adecuado".

En el fondo todo se reduce a si es posible que dos personas que "han leído todo lo anterior" podrían entender una afirmación de dos formas distintas o no. Si he dicho que "adecuado" es "simpático", porque busco a alguien para que haga de recepcionista, no estoy siendo preciso, porque alguien puede considerar simpático a alguien que para otro no lo sea. Pero si digo que "adecuado" es tener al menos 18 años, entonces dos personas bien informadas no pueden discrepar sobre si Juan es o no adecuado.

[0.4.] Luego se habla del conjunto de los números naturales, entendiendo la palabra conjunto de un modo informal.
 

En el párrafo titulado "Los números naturales" no aparece la palabra "conjunto" más que una vez, al principio, sólo en referencia a los conjuntos de la teoría de conjuntos de los que he hablado antes. Al hablar de números naturales no he empleado en ningún momento la palabra conjunto. Luego, en el párrafo titulado "Conceptos abstractos", sí que hablo del conjunto de los números naturales, donde, en efecto, hay que entender la palabra "conjunto" de un modo informal.

[0.5.] Se dice o sobreentiende que algo es un conjunto si está claramente establecido que determinado objeto pertenece o no al conjunto en cuestión.
 
 [0.6.] En ese caso el conjunto estaría bien definido.
 
 [0.7.] Se afirma que el conjunto de los números naturales está bien definido.

Exacto.

 [0.8.] Para que un conjunto, o un universo esté bien definido,
 es también necesario que sea claro
 el sentido de que una cierta propiedad
 \(P\) es satisfecha o no por cada elemento \(a\) del conjunto.
 Es decir, dada una propiedad \(P\),
 y un elemento \(a\) del conjunto,
 ha de haber un criterio o método que
 permita determinar si \(P(a)\) es verdadera o falsa.
 
 Lo que quiero decir es que el criterio o método en cuestión ha de aplicarse por igual a toda propiedad.

No puedo suscribir esa afirmación. Ante todo, quiero dejar claro que estoy dando mi punto de vista sobre estas cuestiones, pero que puede haber otros matemáticos con puntos de vista diferentes. Así, puede que algunos suscriban tu afirmación, pero yo nunca he dicho que haya de haber un criterio para determinar si una afirmación es verdadera o falsa sobre cada elemento de un conjunto que pretenda estar bien definido. Sólo digo que debe existir un criterio que nos permita atribuir un significado a la afirmación de que todos los objetos del conjunto cumplen una propiedad. Pero "atribuir un significado" no es lo mismo que "ser capaz de determinar si es cierto o falso".

Por ejemplo, yo sé lo que significa que todo número par mayor que 2 es suma de dos primos, pero no tengo ningún criterio para determinar si es cierto o falso. En cambio, no sé lo que habría que entender si decimos que todo elemento infinito de \( \mathcal P\mathbb N \) se puede biyectar con \( \mathbb N \) o con \( \mathcal P\mathbb N \). No es que no sepa si es verdad o mentira, es que no sé qué significa que eso sea verdad o mentira, porque no sé lo que significa "todo elemento de \( \mathcal P\mathbb N \)". Por eso no puedo considerar a \( \mathcal P\mathbb N \) como un conjunto bien definido.

 Por ejemplo, para los números naturales,
 el criterio o método es revisarlos uno por uno en secuencia, y
 determinar si cada número \(n\) cumple o no una determinada propiedad \(P\).
 

Exacto, pero, como eso no puede hacerse en la práctica, sólo me sirve para afirmar que lo que significa que la conjetura de Goldbach es cierta es que si tomamos el 4, lo podremos expresar como suma de dos primos, y si tomamos el 6, también, etc. O bien (haciendo abstracción de limitaciones físicas o fisiológicas) tarde o temprano llegaré a un número par para el que, revisando todos los primos anteriores, nunca podré expresarlo como suma de dos de ellos, o bien es imposible que llegue a esa situación, y ésa es la diferencia entre que la conjetura de Goldbach sea verdadera o falsa, sin que importe que esto no me permite justificar que sea verdadera si es que lo es. En cambio, no sé explicar qué se supone que significa que la hipótesis del continuo sea verdadera o falsa.

Veamos ahora las cuestiones que me repiquetean obsesivamente el cerebro.
 
 [0.A.] Antes de hablar de razonamiento,
 hace falta hablar del sentido de
 verdad de una afirmación.
 
 El enfoque de todo el libro es que sólo hay dos valores posibles de verdad:
 verdadero o falso.
 
 Dado que hay tantas nuevas áreas de estudio en lógico que aceptan más valores de verdad, ¿acaso esas teorías son artificiales?

No necesariamente. Si decido estudiar la suma de los números naturales, no está en mi mano decidir si es o no conmutativa. No puedo postular que no es conmutativa pues, si lo hago, ya no estoy estudiando la suma de los números naturales. Pero eso no impide que pueda definir otra operación sobre los números naturales y que no sea conmutativa, e incluso podría llamarla "suma", si no me importara marear a personal. Y esa operación podría tener todo el interés del mundo sin que el hecho de que no sea la "suma de números naturales" en el sentido usual sea ningún menoscabo.

Igualmente, la lógica clásica bivaluada está ahí, y es la que es. Pero si alguien dice "voy a definir una lógica en la que haya tres valores de verdad: verdadero, falso y no puede saberse", puede llegar a una teoría completamente natural con leyes totalmente coherentes con ese planteamiento. Pero todas las conclusiones a las que pueda llegar con esa lógica no invalidarán que si llamamos "verdadero" y "falso" a lo que en la lógica clásica bivaluada se entiende que significa "verdadero" y "falso", entonces las leyes de la lógica clásica son las que son y no podemos elegirlas.

Por ejemplo, con esa lógica trivaluada, el valor de verdad de "Dios existe" sería el tercero: "no puede saberse", pero eso no impide que podamos decir, desde el punto de vista de la lógica clásica, que la afirmación "Dios existe" sea verdadera o falsa, aunque no sepamos cuál es el caso.

Es decir, si la lógica de primer orden captura el razonamiento natural,
 ¿quiere decir esto que no es natural que haya más valores de verdad?
 
 Lo que intento decir es esto.
 Todas estas cuestiones en su conjunto:
 valores de verdad, razonamiento,
 universos (o conjuntos informales),
 criterios que determinan si algo es o no una propiedad, y que dicha propiedad es válida para cada elemento del conjunto;
 todos ellos, en su conjunto, son parte de una misma manera de trabajar.
 
 Justo se eligen universos
 y/o afirmaciones en los cuales
 los únicos valores de verdad posibles
 son verdaderos o falsos,
 y tales que las únicas reglas de razonamiento son las "clásicas".
 
  Por el contrario, lo que parece afirmarse en el texto
  es que el razonamiento y sus dos valores de verdad son una "capacidad inherente" de la mente humana,
  y que es independiente, absoluta,
  respecto al universo de discurso
  sobre el que se razona.

No, no pretendo afirmar lo que sugieres. Lo que digo es que la lógica clásica, bivaluada, en la que cada propiedad considerada es verdadera o falsa sobre cada objeto o grupo de objetos, está ahí, y es la que es, y todos sabemos manejarla desde pequeños, y que nadie puede darnos gato por liebre haciéndonos creer que algo ilógico es lógico o vicerversa, y que es la única que hace falta para fundamentar la matemática. Todo ello sin perjuicio de que otras lógicas con otras características puedan ser igualmente útiles para formalizar algunos aspectos de la realidad. Pero sin duda esas lógicas podrán formalizarse en el seno de la teoría de conjuntos basada en la lógica clásica, bivaluada, etc.

Es como la geometría euclídea plana. Nadie puede convencerte de que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela (una vez se ha dejado claro que hablamos de las rectas "de toda la vida"), pero nada impide que podamos convenir en llamar rectas a los círculos máximos de una esfera y entonces todo cambia. Si convenimos en que "no puede saberse" es un tercer valor de verdad, cambiamos la lógica igual que si convenimos en que una recta es una círculo máximo en una esfera cambiamos la geometría.

  Para el desarrollo ulterior del texto esa discusión sería irrelevante,
  ya que aún aceptando que las leyes del razonamiento fueran relativas a un universo dado,
  resulta que todos los universos (conjuntos informales) de los que luego se habla, son "lógicamente clásicos" (sólo dos valores de verdad,
  y reglas de razonamiento de primer orden).
 

No estoy seguro de entender lo que quieres decir, pero, si lo entiendo bien, entonces estoy de acuerdo. La cuestión es que, al convenir que consideramos únicamente propiedades que objetivamente sean verdaderas o falsas sobre cualesquiera objetos a los que se apliquen, con ello nos vemos obligados a aceptar la lógica tal y como la conocemos a priori (en el sentido de que en cuanto intentes colarle a un alumno una ley lógica ilógica, o bien te dirá que no tienes razón, y que no te vale decir que tú eres el profesor, o bien se convencerá de que no le estás hablando de la lógica "normal", sino de otra lógica más o menos exótica, y ahí ya puedes decir lo que quieras).

  [0.B.] Cuando se habla de que una propiedad, relación o función está bien definida en un conjunto informalmente presentado,
  se presenta el ejemplo de los números naturales,
  en el que la manera de establecer si si una propiedad está bien definida es mediante
  un procedimiento, un algoritmo,
  en el que se recorren uno a uno los números naturales,
  a fin de establecer
  si cada número cumple o no la propiedad o relación, o determinar cuál es el valor de la función en cuestión.
 
  Ahora bien. No necesariamente tiene que haber un algoritmo para determinar si una propiedad tiene sentido para los objetos de un universo dado.

Ojo, es lo mismo de antes: se trata de que podamos afirmar que la propiedad tiene sentido o, mejor, que tiene sentido considerar que se cumple o no se cumple, sobre cada elemento del universo considerado, con independencia de que tengamos un algoritmo para comprobarla.

La expresión "un algoritmo para determinar si una propiedad tiene sentido" me desconcierta. Un algoritmo podría servir para determinar si una propiedad se cumple o no, pero no sé qué tendría que hacer un algoritmo para comprobar que una propiedad tiene sentido.

A no ser que llames "algoritmo" a "comprobar que el 4 es suma de dos primos, y que el 6 también lo es, etc." Yo a eso no lo llamaría algoritmo, porque no se acaba nunca.

  Para el universo de la geometría del plano o del espacio,
  no me queda claro si alguno
  de esos universos es numerable. 
 
  Así que no se me ocurre una estrategia para
  dar un algoritmo que
  recorra todos los puntos del plano, digamos, y establezca
  que cumplen una propiedad
  dada \(P\) o no.
 

En efecto, no creo que "la totalidad de los puntos del espacio" sea una colección bien definida, como no lo es "la totalidad de los subconjuntos del conjunto de los números naturales", pero insisto en que todo esto depende del grado de generosidad que uno muestre a la hora de atribuir existencia a entes abstractos. Si uno es muy generoso y considera que "la totalidad de los subconjuntos de \( \mathbb N \)" es una colección bien definida, tendrá que explicar en qué sentido puede decirse que la hipótesis del continuo es verdadera o falsa. Si por el contrario, alguien es menos generoso que yo y no acepta como colección bien definida a ninguna para la que no exista un altgoritmo que permita determinar cuáles son sus elementos, tiene que decidir qué hace con esto:

  Por otra parte,
  en la demostración
  del Teorema de Completitud
  del capítulo 4
  aparece una construcción
   en que claramente se expresa que no es "algorítmica",
   pero que de todos modos
   está bien definida.
 

Esa construcción puede verse como la piedra de toque de la filosofía matemática: si alguien niega la existencia real a los conjuntos para los que no hay algoritmos que determinen si un objeto es o no uno de sus elementos, entonces tiene que concluir que el teorema de completitud no está bien demostrado. Por el contrario, si alguien lee la prueba del teorema de completitud y se convence de que ese argumento garantiza que toda teoría axiomática consistente tiene un modelo, entonces tiene que admitir que podemos hablar con precisión de conjuntos cuyos elementos no somos capaces de determinar en la práctica.

  Así que entiendo que "tener un algoritmo a disposición"
  parece ser un caso particular
  del concepto de "estar bien definido".

En efecto. Es lo que estoy diciendo: "estar bien definido" es que seamos capaces de determinar qué significa que un elemento esté en el conjunto, o que todos los objetos del conjunto tienen una propiedad, que no es lo mismo que ser capaz de comprobar que así sucede.

  [0.C.] Parece obligatorio introducir los números naturales informales al principio de todo el texto,
  así como la noción informal de conjunto,
  para poder hablar luego de conjuntos finitos e infinitos,
  sucesiones finitas e infinitas,
  y así por el estilo.
 

Cierto.

  [0.D.] Luego muchas estructuras matemáticas conocidas pueden darse de manera informal, hasta cierto grado.
 
  Este sería el caso de
  sucesiones ordenadas de elementos de un conjunto
  (para poder hablar luego de expresiones de un lenguaje),
  grafos, algunas estructuras algebraicas, ciertos conjuntos de números (racionales, algebraicos, u otros),
  la geometría plana o espacial hasta cierto alcance.
 

Cierto. El alcance de la matemática informal, pero rigurosa, es mucho mayor de lo que podría pensarse. Por ejemplo, es posible dar una demostración finitista de la consistencia de la geometría euclídea de cualquier dimensión finita (sin el axioma de completitud), luego si aceptamos que el teorema de completitud tiene pleno sentido en términos informales, concluimos que existen ("de verdad", no meramente que en una teoría axiomática puede demostrarse que existen) modelos de la geometría euclídea, de la teoría de los números reales sin el axioma de completitud (es decir, de los llamados cuerpos realmente cerrados) y de muchas otras partes de la matemática.

  En todos estos ejemplos,
  parece que hay que resignarse
  a que, salvo casos concretos
  (como universos finitos),
  hay que resignarse a
  no tener claro qué es todo lo que puede saberse sobre
  ese universo,
  porque no está claro cuáles son todas las propiedades
  "bien definidas" acerca
  del universo en cuestión.
 
  Cuando digo "saberse",
  me refiero a "conocimiento
  informal",
  y no a la cuestión formal de los resultados de incompletitud.

Sí, pero lo de saber "todo lo que puede saberse" tiene más de capricho que de necesidad. Uno puede llegar a un conocimiento sólido sobre algunos aspectos del mundo físico sin necesidad de saber todo lo que puede decirse sobre el mundo físico. Por ejemplo, podemos saber que, con un alto grado de aproximación, los cuerpos se atraen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias sin necesidad de saber que eso es un caso límite de la gravitación relativista, y sin saber si se llegará alguna vez a una teoría física completa que dé cuenta de todos los fenómenos posibles.

Igualmente, podemos hacer matemáticas sólidas y rigurosas informalmente sin necesidad de saber hasta dónde podemos llegar de esta manera.

   [0.E.] No me queda claro cuáles son las limitaciones que el mismo lenguaje natural impone al conocimiento que pueda obtenerse
 usando el superpower de la intuición matemática.
 

   Ya salió el argentinator "clásico".   

  De hecho, más adelante se demuestra que un lenguaje formal consistente
  es tal que todas sus afirmaciones (demostradas) son verdaderas en un modelo
  (con su correspondiente universo).
 
  Dado el carácter poco poético
  de las expresiones de un lenguaje formal,
  la gran mayoría de ellas
  no pueden expresarse con el lenguaje natural
  (en realidad sí, leyendo de izquierda a derecha sistemáticamente el nombre de cada signo de la expresión).
 
  Pero aún en el caso de que el idioma permita nombrar todas las expresiones de un lenguaje formal,
  no necesariamente tienen éstas que expresar todas las posibles
  propiedades bien definidas
  del universo que se esté estudiando.
 
  Pero me estoy adelantando mucho en los capítulos.

Ahí hay que tener en cuenta que un lenguaje formal limita las propiedades de las que puede hablar al establecer sus constantes, relaciones y funtores primitivos. Existen teorías completas que permiten hablar sobre los números complejos (o de cuerpos numerables con las mismas propiedades algebraicas que los complejos) y que son completas precisamente porque no permiten definir los números naturales, a pesar de que los números naturales están ahí, en el universo que estudiamos. Para hablar de ellos habría que introducir un relator interpretado como "ser un número natural", pero mientras no se hace, la propiedad "ser un número natural" es una propiedad definible en el universo estudiado sin que sea posible hablar de ella en el lenguaje formal en cuestión.

[Carlos Ivorra]

[A.1.] En este punto uno ya toma conciencia de que hay varios niveles de abstracción en lo referido a la lógica.

[...]

Y en un siguiente nivel de abstracción
se habla en general de universos cualesquiera, y de lo que significa razonar en ellos.

Todo esto apenas del lado semántico.

Exacto.

Por "conjunto" entendemos  una colección de objetos "bien
definida", en el sentido de que no haya duda sobre qué significa que un objeto sea o no uno de sus elementos. Pero, más aún, debemos exigir que no haya duda
sobre qué significa que una propiedad se cumpla para todos los objetos de \(M\),
o que exista un objeto en \(M\) que cumpla una determinada propiedad (supuesto que la propiedad esté bien definida para cada objeto).
 

 [1.B.] Eso lo cité sólo para notar que la noción de "conjunto" que se da ahí involucra no sólo a los objetos que pertenecen a la "colección", sino también a los criterios generales que permitan establecer cuándo una propiedad \(P\) aplicada a un objeto \(a\)
 de la colección es verdadera o falsa.

Si, pero en el sentido débil de establecer lo que significa que la afirmación sea verdadera o falsa, que no es lo mismo que ser capaz de averiguar si la propiedad es verdadera o falsa.

  Para los números naturales,
 el criterio establecido es el de "ir recorriendo de uno  en uno los elementos" y verificar si cumple o no la propiedad.
 
 La duda que puede surgirme aquí es si en uno de estos "conjuntos informales" se admitirían
 varios posibles criterios para establecer la validez de una propiedad. Es decir, que un criterio dado sea válido para establecer una propiedad \(P\), otro criterio para una propiedad \(Q\), etc., y que el criterio para establecer \(P\) no sea aplicable para probar \(Q\) y viceversa.
 
O sea, que los criterios de verdad de propiedades sobre
elementos de \(M\) cubran
de forma parcial el "cosmos" de las propiedades \(P(a)\), para \(a\) en \(M\).

Aunque tampoco le veo una utilidad inmediata a esta posibilidad...

Pues aquí te tengo que dar una respuesta universal: si se te ocurre un caso concreto y resulta convincente que tus diversos criterios son coherentes y realmente están definiendo un conjunto y no muchos distintos, pues bien, pero si no queda claro que sea así, pues no vale.

No hay reglas generales sobre qué "se admitiría" y qué "no se admitiría". El único criterio es si uno al final queda convencido de que estás hablando de algo en concreto o si únicamente estás dando unas reglas formales que no te garantizan que una afirmación dada tenga que ser verdadera o falsa.

Pero no se me ocurre ningún caso de la posibilidad que planteas.

[1.C.] Se aclara oportunamente que cuando se habla de un "conjunto arbitrario" \(M\), no  no queda claro lo que querría decir la palabra "arbitrario", y entonces lo que debe entenderse es que se hace un esquema de razonamiento tal que, aplicado a un conjunto específico \(M\), las afirmaciones tienen un significado concreto, y tiene sentido decir que son verdaderas o falsas.

Exacto.

[1.D.] De lo anterior me queda dando vueltas la reflexión de que, en la matemática formal, uno le puede dar el mismo significado a las frases "dado un conjunto \(M\)" y "para todo conjunto \(M\)".

En cambio, en el contexto metamatemático "dado" y "para todo" están diferenciados. La alocución "dado un conjunto" se refiere a una entidad específica, a la cual uno se refiere esquemáticamente.

Individualmente, puede establecerse si algo es o no es un conjunto, pero globalmente no se entiende qué es "para todo conjunto", o bien, quién es la famosa invitada de piedra: colección de todos los conjuntos.

Exacto, ésa es una idea fundamental e importantísima.

[1.D.] Dado que se afirma que sólo los "conjuntos" son colecciones "bien definidas", entiendo, claro está, que una colección "no bien definida" no es un conjunto, en el contexto metamatemático.

Esto me trae unas dudas, pero las dejaré para el final... mmmmm

Aquí nos perdemos un poco con las palabras. Es como si decimos que está prohibido tener pistolas auténticas sin licencia. Eso no excluye que un niño pueda tener una pistola de juguete, pero es que una pistola de juguete no es una pistola. Del mismo modo una colección "no bien definida" y, más en general, cualquier cosa "no bien definida", no es nada.

Bueno, no sé. Eso ya es una cuestión que depende de muchos convenios lingüísticos arbitrarios. ¿Es algo el conjunto de todos los seres humanos inteligentes (sin más precisión sobre qué debe entenderse por inteligente)? Yo, en estos contextos, diría que eso no es nada, pero si alguien quiere decir que es algo, aunque no un conjunto metamatemático, ya es cuestión de que cada cual use las palabras como quiera.

Cambiando la formulación de la cuestión, ¿se puede hablar del universo de "todos los conjuntos bien definidos"? Aparentemente tampoco, porque no está "bien definido" el concepto de "estar bien definido".

En efecto, yo diría que no existe tal cosa. Eso sólo es un nido de paradojas. Pero no quiero dejar de insistir en que otro podría tener otros planteamientos "filosóficos" distintos de los míos. Si alguien cree que "estar bien definido" es un concepto "bien definido", tendrá que explicar qué pasa con todas las paradojas sobre la definibilidad. Mi opinión es que tales paradojas son la prueba de que no hay una definición de "estar bien definido" y que eso es lo que pasa cuando uno habla de cosas que ni él sabe lo que son.

[1.E.] Aquí me aparece una nueva concepción en la jerarquía de conceptos que van surgiendo.

(a) Hay "conjuntos" que están determinados por un procedimiento, un algoritmo que prescribe sus elementos, o determina sus propiedades. Ése es el caso de \(\mathbb N\). En particular, estos conjuntos están "bien definidos". El concepto de número natural estaría "algorítmicamente bien definido".

(b) Hay "conjuntos" que están bien definidos, pero que no hay algoritmos que lo establezcan. Considero que el plano y el espacio Euclidiano son ejemplos de esto. Así que el concepto de ser un "punto" o un "segmento" de la geometría plana o espacial está "bien definido".

(c) Hay "conceptos" que están "correctamente establecidos". Todo concepto "bien definido" está "correctamente establecido", pero hay conceptos "correctamente establecidos" que no están "bien definidos". Ejemplos de esto serían el concepto de "conjunto" o el de "estar bien definido", o "ser un algoritmo". Es una noción o categoría conceptual más general, ya muy agarrada de los pelos.

Muy bien expresado. Podría discutir un poco el ejemplo de la geometría euclídea, pero sería desviar el tema sin aportar nada relevante a este hilo.

No logro comprender el alcance de esto último si trato de verlo "matemáticamente". No sé si una cosa así pueda "formalizarse". Pero dado que en la matemática se aplican razonamientos a esta categoría de conceptos, debería poder expresarse de algún modo en la lógica, aunque no entiendo bien cómo vendría a encajar esto.

Bueno, una versión débil de la distinción que estás planteando sería la distinción entre clases y conjuntos en las teorías axiomáticas de conjuntos. Pero no es de extrañar que no encuentres un auténtico paralelismo porque lo que hacen las teorías de conjuntos usuales es excluir la tercera categoría. Por ejemplo, tú mismo citas el concepto de "conjunto" como buen ejemplo de la tercera categoría: podemos hablar esquemáticamente de conjuntos pero no tenemos realmente una noción bien definida de "conjunto" ¿qué queda de eso en la teoría axiomática de conjuntos? Pues nada. Es una huida hacia adelante: no somos capaces de atribuir un significado a una afirmación sobre la totalidad de los conjuntos, pues introducimos una axiomática en la que podamos decir "para todo conjunto x" sin más que escribir \( \bigwedge x \) sin necesidad de dar cuentas a nadie de qué hay que entender que eso significa.

La lógica formal es una teoría "chulesca": ¿Tú te preguntas qué hay que entender por la totalidad de los conjuntos y te das cuenta de que el concepto "conjunto" pertenece a tu tercera categoría?, pues yo te voy a hablar desde el primer axioma de propiedades que se cumplen "para todos los conjuntos" sin decirte en ningún momento qué significa "conjunto", ni qué significa "para todo", y además lo voy a hacer apoyado por tales tecnicismos (la lógica de primer orden) que no vas a tener derecho a quejarte por la falta de información. Eso es la matemática formal. La falta de paralelismo que notas se debe a que la matemática formal es una forma ingeniosa de suprimir la diferencia entre tu segunda y tu tercera categoría con un "hablo de todos los conjuntos sin más explicaciones porque éstas son las reglas", y si pensamos, por el contrario, en los conjuntos "bien definidos", la versión de la matemática formal es "de eso no se puede hablar proque éstas son las reglas", y en efecto, no es posible definir lo que es un conjunto definible (en términos absolutos, otra cosa es un subconjunto definible de un conjunto dado con parámetros variando en un conjunto dado, normalmente el mismo) y por ello todos los problemas que podrían deducirse de ahí quedan excluidos por decreto. En teoría de conjuntos, los conjuntos son los conjuntos, y aunque hay algunos que puedes precisar mediante una definición, como \( \mathbb R \), que es el único conjunto que cumple la definición de \( \mathbb R \) (la que prefieras que no sea "salvo isomorfismo", por ejemplo, cortaduras de Dedekind en \( \mathbb Q \)), no puedes dar una definición formal que englobe a los conjuntos definibles y sólo a ellos.

Si lo prefieres: el paralelismo consiste en que los conceptos de la tercera categoría se corresponden con los conceptos no definibles en una teoría axiomática formal, como el propio concepto de conjunto o el de "conjunto definible" (en el sentido de distinguible del resto por ser el único que cumple una cierta definición).

[1.F.] A continuación en la Sección 1.2 se definen los lenguajes formales, y todos los términos sintácticos.

Ya es un terreno más cómodo de transitar para mí, porque ahora se habla de objetos concretos, cadenas finitas de signos, tomados a su vez de un conjunto finito.

Lo que me llama la atención es el detalle de exigir que las variables tengan que ser infinitas. ¿Realmente es necesario que haya infinitas variables en un lenguaje formal?

Si el problema es por el número infinito de signos que ello conlleva, no es necesario. Podrías considerar que un lenguaje formal tiene (además de los otros signos que no son variables) dos signos "constructores de variables", por ejemplo, "o" y "x", y definir las variables como los términos de la forma o, ox, oxx, oxxx, oxxxx, etc.

Así podrías tener un lenguaje con una cantidad finita de signos, pero con infinitas variables (igual que tienes infinitas fórmulas, cosa que no va a dejar de ser cierta aunque admitas sólo una cantidad finita de variables).

Ahora, si por algún motivo quieres eliminar, no sólo la infinitud de los signos, sino realmente el de las variables, el problema es que no puedes acotar cuantas variables puede requerir la formalización de un argumento dado, y sería del todo inaceptable decir que el último teorema de Fermat no es demostrable porque requiere más variables que las que tiene el lenguaje de las matemáticas.

Podría añadir más cosas, pero como luego vuelves sobre esto, seguiré después.

[1.G.] También tengo una duda en la terminología empleada. En los textos de lenguajes formales de Ciencias de la Computación, un lenguaje formal es un conjunto finito de signos, junto con el conjunto de expresiones válidas del lenguaje.

En cambio, en el texto se define un lenguaje formal como el mero conjunto de signos, y sólo se añade una clasificación a esos signos. Y a partir de allí se definen las "expresiones" del lenguaje como una cosa posterior.

En el texto se llama "cadenas de signos no expresivas" a lo que en un libro de Ciencias de la Computación se llama "cadenas que no pertenecen al lenguaje".

Parecerá tonto, pero esa diferencia en las definiciones me trajo algunas confusiones de varios días.

Supongo que la diferencia se debe a que las definiciones de las que hablas están pensadas para teorizar sobre una clase de lenguajes mucho más amplia que la de los lenguajes de primer orden, y en ese contexto son más prácticas. En los lenguajes de primer orden, lo único que puede variar son los signos básicos, mientras que las reglas de formación de términos y fórmulas son siempre las mismas. Por ello podemos llamar "lenguaje" simplemente al inventario de los signos básicos.

Cuando estás dispuesto a considerar lenguajes con distintas reglas de formación de fórmulas, entonces tienes que considerar a dichas reglas (o a las cadenas formadas con ellas) como parte del lenguaje.

[1.H]  Los valores de verdad, ¿pueden realmente considerarse "valores" en un conjunto \(\{F,V\}\), o hay algo en esto que es erróneo?

No creo que esa pregunta tenga una respuesta objetiva. La teoría formal de conjuntos requiere que todos los objetos definidos se presenten como determinados conjuntos, y eso fuerza a definir los grupos como pares ordenados de un conjunto y una operación, etc. Pero cuando uno razona informalmente, aunque puede someterse a esa misma política que al trabajar formalmente es obligatoria, en realidad no hay razón alguna para seguirla. Uno puede decir que tiene un grupo siempre que tiene un conjunto y una operación bien definida sobre él (que cumple ciertas propiedades), pero identificar eso con un par ordenado es hablar por hablar. No se gana nada con ello, ya que no tenemos la obligación de hacer que todo sea un conjunto.

Igualmente, un modelo de un lenguaje formal divide a sus fórmulas en verdaderas y falsas. Puedes hablar a partir de ahí de una correspondencia que toma valores en un conjunto de dos elementos, pero realmente no creo que ganes nada con ello, salvo mantenerte más cerca de la forma en que eso se formaliza en la teoría de conjuntos. Tampoco hay nada malo en ello, por otra parte.

[1.I]  Tras arduos años logré entender la diferencia entre expresión formal y significado.
Creo que una parte de la dificultad está en el modo de trabajar en Teoría de Conjuntos,
en que se usan variables para representar conjuntos y sus elementos, pero se usan constantes para representar elementos concretos de esos conjuntos. Esas constantes son las que yo, y quizás otros también, toman como "objetos propiamente dichos", es decir, los valores de las variables.  No se me hubiese ocurrido definir una "valuación", que es la operación que pone de manifiesto lo que uno hace cuando le da sentido a unos signos de una expresión escrita en un papel. Aunque la analogía con el juego de ajedrez no está de más, creo que la dificultad en despegar sintaxis de semántica, como cosas separadas, es algo que sólo se logra dándose contra la pared.

Ciertamente es uno de los muchos aspectos que desconciertan a quienes estudian lógica (aunque sean expertos matemáticos) y, lo que es peor, sin que en muchos casos puedan identificar dónde está el origen del desconcierto. Tu análisis parece indicar que lo has localizado y lo has superado.

Algo que me molesta un poco respecto este tema, es que en la metamatemática también se usan símbolos informalmente para representar en abstracto expresiones genéricas.

Hay allí una operación de abstracción que, aunque queda claro en el texto qué es lo que se hace, me queda la duda de si no hay una "formalización encubierta", que afirma de sí mismo ser parte de un complejo metalenguaje.

En la última frase me pierdo por completo. No sé lo que quieres decir.

[1.J.] Aparentemente hay infinitas variables, así como potencialmente infinitos relatores y funtores. Por ejemplo, si hubiera infinitos relatores \(R_i^n\), los índices \(i,n\) podrían expresarse de tal manera que se use un lenguaje \(\mathcal L\) con sólo un número finito de signos. Esto está dicho en el texto para las variables.

No obstante, el hecho de que el rango de un relator o un funtor sea un número \(n\), es una información externa, que tiene que establecer o conocer previamente la persona que se involucra con el lenguaje formal en cuestión.
Me refiero a que no hay nada implícito en los signos que representan un relator o un funtor para que deduzcamos de su mera presencia que tiene rango \(n\), sin una convención externa previa.

En principio no, pero nada impediría que el propio signo elegido para cada relator o cada funtor mostrara su número de argumentos requerido. Como en el caso de las variables, podríamos definir un lenguaje de modo que, en lugar de relatores y funtores, tuviera dos constructores de relatores, digamos R y S, de modo que los relatores monádicos fueran R, RS, RSS, RSSS, etc., los relatores diádicos fueran RR, RRS, RRSS, RRSSS, etc., e iguamente con los funtores. Pero sería lo mismo.

[1.K.] En la definición de modelo se exige que el universo sea no vacío.

Eso es un tecnicismo muy sutil. Tal y como se presenta el cálculo deductivo, resulta que \( \bigvee  x x=x \) es un teorema lógico, y para que sea verdadero en todos los modelos, hace falta exigir que todos tengan universo no vacío.

Se podría modificar el cálculo deductivo para que no se pueda demostrar "lógicamente" la existencia de algo y entonces se podrían admitir modelos vacíos.

Se podría igualmente desarrollar la teoría de consistencia diciendo que una teoría es contradictoria syss su único modelo es el vacío.

Es una forma de verlo.

Creo que esto podría uniformar el tratamiento, y eventualmente podría simplificar algunas exposiciones.

Pues no me lo he planteado.

[1.L.] Al dar las definiciones de  términos, fórmulas, expresiones, etc., aparecen en el texto de un modo sistemático que sólo alude a la estructura de los signos que la componen.

Más adelante se da una caracterización "recursiva" de los conceptos de "término", "fórmula", etc. En ciertos libros lo he visto introducido todo esto al revés, es decir, indicando la forma recursiva.

No sé cuál enfoque es más conveniente,

No entiendo a qué te refieres.

pero en cualquier caso creo que lo importante es la prevención de que haya una sucesión previa de expresiones \(\theta_0,\ldots,\theta_m\),
tales que cada expresión en la lista se conforma de expresiones previas, atendiendo a ciertas reglas de construcción.
Eso evitaría que alguien como yo se queda mosqueado preguntando si acaso la recursión de estas cadenas de signos está bien construida, o si hay algún bucle o descenso infinito...

Pero eso es lo que dice la definición 1.5, ¿no? No capto lo que echas en falta.

[1.M.] Valoraciones. Este tema es ciertamente algo escabroso. Una valoración asigna a cada una de las infinitas variables del lenguaje un valor en el modelo.

Supongamos que el modelo es infinito.
Acá lo molesto es que se afirma que no es posible tener una "buena definición" de lo que significa una función cualquiera de un conjunto numerable(el de las variables) en un conjunto infinito. Después de todo, una valoración es una asignación de tipo "funcional", una correspondencia de un conjunto en otro (de un conjunto de variables en un conjunto \(M\)).

Hay valoraciones que seguramente estarán bien definidas.
Por ejemplo, la que a cada \(x_i\) asigna el número natural \(i^2\) en el modelo \(\mathbb N\) de una teoría aritmética.

¿Pero acaso están permitidas valoraciones que no están bien definidas?

Más tarde se aclara que esto no es relevante, porque hay un Teorema que afirma que sólo son importantes los valores que una valoración asigna a las variables libres de una expresión, las que siempre habrán de ser una cantidad finita.

En efecto, si no fuera así, todo lo que planteas sería realmente un problema. Si lo prefieres podrías definir las valoraciones como asignaciones definidas sobre conjuntos finitos de variables y luego hablar de valoraciones "aptas" para una expresión, que son las que valoran todas sus variables. No está hecho así simplemente por simplificar la exposición, pero teniendo en cuenta de forma esencial que al final sólo importan las restricciones de una valoración a las variables presentes en las expresiones que se valoran.

En otras palabras, que si te escribes tus propios apuntes de lógica y cambias eso para no considerar valoraciones infinitas, nadie podrá objetarte nada.

Pero igual puede que me quede una duda, porque una sucesión de pasos de una demostración tiene expresiones, tal que cada una tiene una cantidad finita, pero diferente, de variables libres.
Una variable que estaba ligada en una fórmula, puede luego quedar libre al adosarle una nueva expresión con algún conector lógico.

Por otra parte, en vez de apelar al Teorema 1.9, que afirma la irrelevancia de las variables ligadas, se podría tomar un enfoque más simple, en el que simplemente se diga que "sólo importa el valor de una valoración en las variables que figuran en una expresión dada". Después de todo, las expresiones tienen una cantidad finita de variables, por ser cadenas finitas de signos.

No llego a ver cuál es la duda que dices que te queda.

Otro "remedio" a la molestia de tener que considerar qué pasa con posibles valuaciones "no bien definidas", o qué sentido tiene hablar de una valuación "en general", podría ser cambiar la definición de lenguaje formal, diciendo que el número de variables es finito, aunque tan grande como haga falta.

Pero no hace falta. Insisto en que no hay ningún problema en que consideres únicamente valoraciones definidas sobre un número finito de variables. No sé si la duda que querías plantear en esos párrafos en los que te he dicho que no veo cuál es tu duda era que piensas que eso no funcionaría bien, pero no, eso funciona perfectamente sin más que cuidar en cada momento de considerar valoraciones de conjuntos de variables suficientemente grandes. Es un puro tecnicismo. Si te resulta más cómodo eliminar ese infinito, se puede eliminar sin problemas que no tengan fácil solución.

Si hubiese \(N\) variables, una valuación tendría \(2^N\) valores posibles del modelo \(M\), y esto tendría un sentido mucho más claro, toda posible valuación estaría siempre bien definida.

Y si consideras sólo valoraciones definidas sobre un número finito de variales, también todas las valoraciones estarían bien definidas, y es perfectamente viable. Si limitas el número de variables, volverías falsos todos los razonamientos sobre lenguajes formales que en un momento dado necesitan considerar una variable "nueva", pues siempre cabría el riesgo de que no quedaran más. Eso sería un problema conceptual mucho mayor, que te obligaría a ir extendiendo tu lenguaje cada vez que hiciera falta.

[1.N.] En cuanto a las sustituciones, está claro que es una mera operación en el terreno sintáctico. No sé si habrá gente que se maree y confunda como cosas parecidas a los conceptos de "valuación" y "sustitución". La valuación es una operación mental de asignación, pero que no cambia en nada la expresión formal; mientras que una sustitución cambia una expresión por otra, haciendo un reemplazo de una variable por un término.

Ciertamente esto de la sustitución permite hacer matemática.

En efecto, la sustitución es un concepto sintáctico, y las valoraciones son un concepto semántico.

Pero todo esto no son más que comentarios banales.
Los pongo por las dudas, por si hay algún aspecto didáctico que tener en cuenta en esto.

[1.O.] Se agradece el cuidadoso tratamiento de las variables libres en el tema de las sustituciones. De hecho, no sé si me hubiera dado cuenta de los problemas que aparecen mencionados ahí, si no hubieran sido nombrados y explicados.

Otro enfoque que siguen otros libros consiste en definir las sustituciones sin tantas distinciones, pero luego definir lo que es un término "sustituible" en una expresión, en el sentido de un término que si se mete en lugar de una variable en una expresión no produce ninguno de los problemas a los que te refieres. Así, la opción que he seguido yo es la de definir una sustitución "segura", que nunca da problemas, y la alternativa es definir una sustitución más sencilla pero "insegura", y en cada ocasión que se usa exigir que el término que se sustituye cumpla ciertos requisitos para no dar lugar a problemas.

Es como hacer un programa que si cuando te pide un número le das una letra te pone un mensaje que dice "te he dicho un número, estúpido" y te vuelve a preguntar, o bien no molestarte en contemplar esa posibilidad en el programa, de modo que si le das una letra el programa se cuelga, y dejas a cargo del usuario no meter nada que no sea un número si quiere usar tu programa.

[1.P.] Una expresión como \(x=y\wedge \bigvee x\bigwedge x x^2 = x^3\), en la que la misma variable se cuantifica dos veces en forma anidada en una expresión está permitida, y además aparece libre en otra parte, está permitida. Pero no termino de entender qué sentido tienen, o si matemáticamente dicen algo correcto.

Con los convenios adoptados, lo que pasa al final es que si en una fórmula cambias una variable ligada por otra, obtienes una fórmula que significa exactamente lo mismo. Por ejemplo, la fórmula que has puesto significa exactamente lo mismo que

\(x=y\wedge \bigvee w\bigwedge z z^2 = z^3\),

La filosofía de fondo es la misma que en el caso de la sustitución. Se admiten fórmulas como la que propones, no porque tengan interés para nada (que no lo tienen, ningún matemático escribiría nunca una fórmula como la que has propuesto, sino que, en caso de tener que decir lo que dice esa fórmula, escribiría la que te he puesto yo), sino para evitar prohibiciones innecesarias. Para evitar fórmulas como ésa tendrías que modificar la definición de fórmula, haciéndola más complicada, con más subcasos, y lo que perdemos al complicar la definición de fórmula no se compensa en absoluto eliminando unas fórmulas bobas que no le interesan a nadie, pero que no molestan a nadie si les dejamos estar ahí, aunque nunca las vayamos a usar para nada, porque hay otras equivalentes, que sirven exactamente para lo mismo, y no hacen daño a la vista.

[Carlos Ivorra]

Comentarios al capítulo 3.

[3.A.] Aquí de nuevo me topo con la misma objeción de antes, al definir "modelo de un sistema axiomático T". Antes de determinar si los axiomas de T se cumplen en algún modelo \(M\), primero hay que hablar de si hay propiedades "bien definidas" en el modelo que interpretan dichos axiomas, y sólo después verificar si son verdaderos. A continuación, antes de probar que todo teorema de T es verdadero en un modelo de T, antes hay que probar que todo teorema de T se refiere a una propiedad "bien definida" en el modelo.
Supongo que esta prueba se haría por inducción, sin demasiada dificultad.

Creo que lo estás complicando más de lo que es. Para definir un modelo, tienes que fijar un universo y unas relaciones y funciones bien definidas asociadas a cada relator y funtor del lenguaje (y fijar un objeto para cada constante). Con eso ya tienes un modelo bien definido, y a partir de ahí, para comprobar que es un modelo de T, sólo tienes que aplicar la definición 1.7. Dicha definición asocia a cada fórmula \( \alpha \) con \( n \) variables libres \( x_1,\ldots, x_n \) una relación \( M\vDash \alpha[a_1,\ldots, a_n] \) que se cumple si \( M \) satisface \( \alpha \) con la valoración que cumple \( v(x_i)=a_i \). Creo que eso es lo que dices que hay que probar, pero ya está probado.

[3.B.] Una vez probado ese hecho, resulta provechoso más tarde al advertir que toda "teoría aritmética" contiene propiedades cada vez más interesantes, en la medida que los axiomas se amplían o complementan de un modo u otro. Es decir, desde el terreno sintáctico se van introduciendo nuevas expresiones que, al ser interpretadas, introducen propiedades ("bien definidas") más complejas e interesantes de los números naturales mismos, que uno quizás no podría introducir fácilmente (o quizás sí) si se quedara jugando solamente en el terreno semántico en \(\mathbb N\).

No estoy seguro de saber en qué estás pensando. En una teoría aritmética puedes demostrar muchas cosas sin necesidad de añadir axiomas. Ciertamente también puedes añadir axiomas, pero ¿estás pensando en eso realmente? No lo tengo claro. ¿Podrías poner un ejemplo de a qué clase de propiedades te refieres, para saber si realmente estás considerando cosas que requieren añadir axiomas o no?

[3.C.] Al introducir las teorías formales de conjuntos, en el texto no se presentan modelos explícitos, sino que se procede a postergar la cuestión hasta el capítulo siguiente construyendo un modelo para cualquier teoría no contradictoria.

Sin embargo, hay que tener certeza de que las teorías de conjuntos de la sección 3.2 son no contradictorias, así que habría que exhibir un modelo.

Sospecho que será fácil probar que el conjunto de partes finitas de \(\mathbb N\) sirve de modelo para ambas teorías: la B y la Z*.

No exactamente. ¿Las partes finitas con qué relación de pertenencia? En realidad tienes que considerar los conjuntos hereditariamente finitos, que es otra cosa. En 5.5.3 se define una relación de pertenencia a partir de los axiomas de Peano y de demuestra que cumple los axiomas de B, Z* y de teorías incluso más fuertes, lo que semánticamente equivale a definir una relación de pertenencia sobre el conjunto de los números naturales que convierte a éste en un modelo de estas teorías.

En la práctica, tecnicismos aparte necesarios para formalizar la definición en AP, se trata de considerar que un número natural \( n \) pertenece a otro \( m \) si y sólo si la n-sima cifra binaria (considerando que la primera es la 0-ésima) de \( m \) es igual a \( 1 \).

Así, el \( 0 \) es el conjunto vacío del modelo, porque todas sus cifras binarias son nulas, luego no tiene elementos. A su vez, \( 1 \) es el conjunto cuyo único elemento es \( 0 \), es decir, \( \{\emptyset\} \), porque su única cifra binaria no nula es la "0-ésima".

No sé si queda claro, pero la idea de fondo es muy sencilla. Si no lo ves y te interesa, te lo puedo detallar más. Es de las cosas que cuando uno las pilla se da cuenta de que son muy sencillas... una vez que se han pillado.

[3.D.] El hecho de que se pueda razonar informalmente en una teoría axiomática T, acerca de  una propiedad cualquiera \(P\) en un universo, no significa que esta propiedad sea expresable formalmente.

No estoy seguro de saber a qué te refieres. En cierto sentido, sí. Por ejemplo, dado un modelo de la teoría de conjuntos, podemos distinguir cuáles de los conjuntos del modelo son definibles en dicho modelo (en el sentido de que un conjunto sea el único que cumple una cierta definición) y cuáles no lo son, pero la definibilidad no es definible en la teoría de conjuntos. No sé si te refieres a eso.

Al introducir nuevos axiomas en la teoría T podría intentar paliarse ese problema, pero es interesante observar el caso expuesto en el texto de la paradoja de Russell, en el que se exhibe una biyección entre \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\), pero que es invisible para la teoría formal T.

Imagino que se podrían agregar axiomas nuevos, dando cuenta de la existencia de objetos de un tipo diferente al de los conjuntos típicos, una categoría diferente, y hacer formal la cuestión.

Aquí sí que me has despistado del todo. Se supone que hablas de la paradoja de Russell en el capítulo 3, pero ¿seguro que no te refieres a la paradoja de Skolem en el capítulo 4?

[3.E.] En el terreno de las deducciones formales, el símbolo \(\vdash\) representa una secuencia de dos o más pasos, en que ciertas cadenas de signos se transforman, mediante reglas de inferencia, en otras cadenas de signos. Esto introduce el factor "tiempo" o bien el "orden temporal" en la lógica, porque ciertos teoremas tienen que estar previamente demostrados antes que poder usarlos para deducir otros teoremas.

Hay un orden secuencial temporal.

Aparentemente todas las reglas de inferencia pueden expresarse con un algoritmo más o menos sencillo.

Pero el hecho de que aparezca aquí la necesidad de acudir al concepto de "algoritmo" me pone algo nervioso, y me dan ganas de traer a colación el capítulo de Máquinas de Turing. Pero no lo haré, porque antes de eso hay varios capítulos sobre teorías aritméticas en los que no quiero ahondar aquí.

No capto el problema que planteas. En efecto, es posible diseñar algoritmos que comprueben si una demostración dada es correcta, e incluso que generen demostraciones correctas y vayan enumerándolas todas, sin dejarse ninguna.

[3.F.] Sin embargo, al menos mencionaré que la famosa Máquina de Turing aparece definida de tal manera que es una "máquina abstracta", digamos, que procesa cadenas finitas de caracteres, tomando una entrada y dejando impresa en la cinta una respuesta.

Cierto.

Lo que entiendo entonces es que las Máquinas de Turing sirven al propósito de estudiar cuestiones sintácticas, formales, y que con ellas nada se dice acerca del aspecto semántico de las teorías formales.

No sé muy bien cómo hay que entender esta frase. Las máquinas de Turing caracterizan las funciones recursivas, que son funciones "de verdad", definibles informalmente, luego con ellas estás haciendo semántica. Una máquina de Turing es abstracta en el mismo sentido en que la suma de números naturales es abstracta, pero eso no impide que puedas hablar informalmente de ambas. La afirmación "existe una máquina de Turing capaz de elevar al cuadrado cualquier número natural que se le dé", es tan válida informalmente como la afirmación "existen números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios".

[3.G.] Otro comentario (ya del capítulo 7) sobre Máquinas de Turing, dice que la definición de Máquina de Turing sería un sistema axiomático.

Pero no entiendo exactamente el sentido de esto.

Tal vez sea porque no digo eso. No digo que la definición de máquina de Turing es un sistema axiomático. Sólo quiero enfatizar que no es una máquina de verdad, como una bicicleta o un ordenador, sino que es un concepto abstracto "de la misma naturaleza que una teoría axiomática". Igualmente podría haber dicho "de la misma naturaleza que los números naturales" o "de la misma naturaleza que el juego del ajedrez".

Está involucrado el factor "tiempo", es decir, una secuencia ordenada de operaciones a lo largo del tiempo, que van reconfigurando la máquina hasta obtener una respuesta.

Y aún si lo entendiera, hay algo que me marea, porque como antes concluí que las Máquinas de Turing son un dispositivo que se usa para estudiar "teorías axiomáticas", me molesta pensar en el concepto de Máquina de Turing por sí mismo como un "sistema axiomático". No son lo mismo, aunque sí que es claro que el concepto de Máquina de Turing es abstracto, y que muchas "implementaciones" distintas son posibles.

Pues eso es lo únco que quería decir, bueno, eso y que sería un error identificar una máquina de Turing con un aparato que uno puede enchufar a una toma eléctrica para que funcione. Creo que le has dado muchas vueltas a un mero equívoco.

[3.H.] En las normas que definen ciertos lenguajes de programación se define el "lenguaje" de modo análogo a como en el libro de lógica se definen los "lenguajes formales y sus expresiones". En dichas normas se esboza el comportamiento esperado de una "máquina". Esta "máquina" también está especificada "en abstracto", es decir, no se indican todas sus características, sino sólo algunas (por ejemplo, digamos, existencia de puntos de secuencia que separan bloques de instrucciones a lo largo del tiempo).

Lo curioso es que el "programa en ejecución" sobre una posible "máquina" se consideran el correlato "semántico" del programa escrito en un lenguaje dado.

Aún así estas "máquinas" pueden usarse para "trabajar la parte sintáctica" de una expresión de la lógica formal, sin apelar a modelos, así que desde el punto de vista matemático no estarían formando parte del terreno "semántico". Operan en el terreno sintáctico solamente.

Ah, en ese sentido sí. No había entendido a qué te referías hasta ahora. En efecto, puedes usar una máquina de Turing para generar teoremas de la teoría de conjuntos, y en ello no interviene ninguna interpretación del concepto de conjunto.

Pero ahí sólo estás enmascarando el hecho de que usamos unos objetos "con semántica" (los lenguajes formales) para hablar de otros objetos sin meternos en cuestiones semánticas (los conjuntos). En lugar de usar lenguajes formales, podríamos usar números naturales (a través de una numeración de Gödel) y también podemos usar máquinas de Turing.

El resultado es que las máquinas de Turing están en el mismo lado que los números naturales o los lenguajes formales. Son objetos "con contenido semántico" que nos permiten hablar de otros objetos (como los conjuntos) sin tener en cuenta para nada la semántica.

Este uso de los términos en contextos distintos me ha sabido confundir.

Pues no sé si ya está aclarado o no. Porque, como te he indicado, yo también he tenido problemas para entender a qué te referías en algunos momentos y no sé si he acertado al responderte.

4. Comentarios al capítulo 4.

Las únicas dudas me surgen en torno a la numerabilidad de los modelos.

Se habla de modelos numerables como dejando la puerta abierta a modelos que puedan no ser numerables, pero a su vez no está claro lo que esto quiere decir, ya que ahora se tiene que \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\) son biyectables semánticamente.

Resumir así la paradoja de Skolem resulta equívoco. Si la teoría de conjuntos es consistente, tiene un modelo numerable, y ello significa que los números naturales de ese modelo y los subconjuntos de \( \mathbb N \) de ese modelo son biyectables metamatemáticamente.

En cuanto a si existen modelos no numerables, el problema es más general: ¿existen conjuntos no numerables? Mi punto de vista personal es que no conozco ningún conjunto que pueda considerar "bien definido" informalmente y que pueda decirse de él que es no numerable. Sobre eso hay mucho que filosofar, pero lo importante es que los resultados que citas, como bien dices, "dejan la puerta abierta a", que es lo mismo que decir "no entran en la cuestión", luego no dependen de lo que uno piense al respecto.

Mas, luego, se afirma que la metamatemática es formalizable en la teoría de conjuntos ZFC, la cual, suponiéndola consistente, validaría muchos resultados interesantes... vaya a saber cuáles (no me he metido en el tema, pero me voy imaginando...).

Cuando afirmas cosas como ésta me sería de mucha ayuda que me señalaras dónde "se afirma", para saber a qué te refieres exactamente. En cierto sentido, el hecho de que toda la metamatemática es formalizable en ZFC es "trivial". Simplemente, toma los capítulos que te has leído y reconsidéralos desde un principio como teoremas matemáticos de la misma naturaleza que los que puedas encontrar en cualquier libro de álgebra, o de cualquier rama matemática: define un lenguaje formal como una 5-tupla, o 7-tupla o la n-tupla que haga falta para determinar y clasificar debidamente sus signos (que serán conjuntos indeterminados, como los puntos en un espacio topológico o los elementos de un grupo), define las cadenas de signos como sucesiones finitas de signos (exactamente igual que puedes definir las sucesiones de números reales), define recurrentemente los términos y fórmulas, etc. Todo lo entenderá cualquier matemático, siempre y cuando no le mezcles tus definiciones con las fórmulas metamatemáticas que usas para escribirlas.

Igualmente, puedes definir un modelo como un par \( (M, I) \) formado por un conjunto no vacío y una función que a cada constante del lenguaje le asigna un elemento de \( M \), a cada relator n-ádico una relación n-ádica (un subconjunto de \( M^n \)), etc. Y todos los teoremas de los que me has hablado se convierten entonces en resultados de la misma naturaleza que "toda función continua en un compacto es uniformemente continua". Una afirmación sobre sucesiones de conjuntos, y unas estructuras "algebraicas" llamadas modelos que se demuestra como cualquier otro teorema matemático.

En ese contexto, en el que es un teorema que existen conjuntos no numerables, hay una variante del teorema de Löwenheim-Skolem que asegura que una teoría consistente tiene modelos de cualquier cardinal infinito.

En cualquier caso, si en ZFC se construye o exhibe un modelo no numerable de una teoría axiomática, ¿significa esto que hay un modelo no numerable desde el punto de vista informal de la metamatemática? Mmmmm...

Yo diría que no, porque no todos los axiomas de ZFC son verdaderos informalmente. Concretamente, el axioma que afirma la existencia de un conjunto de partes (siempre según mi punto de vista que otros podrán no compartir) es falso informalmente. No creo que pueda hablarse de un conjunto de partes de \( \mathbb N \) bien definido.

Yo diría que no, porque en este caso el concepto de biyección metamatemática estaría formalizado, y vendría a significar que no existe una biyección (metamatemática) entre \(\mathbb N\) y cierto modelo no numerable... No sé si se entiende lo que digo, ni si está bien atinado.

No le veo el sentido. \( \mathbb N \) es numerable, luego seguro que no existe una biyección entre \( \mathbb N \) y cualquier cosa que sea no numerable.

Sospecho que no has acabado de digerir bien la paradoja de Skolem. Si quieres profundizamos en ella, pero hoy lo dejo ya, que son las 2:20 de la madrugada.

[argentinator]

pero yo nunca he dicho que haya de haber un criterio para determinar si una afirmación es verdadera o falsa sobre cada elemento de un conjunto que pretenda estar bien definido. Sólo digo que debe existir un criterio que nos permita atribuir un significado a la afirmación de que todos los objetos del conjunto cumplen una propiedad. Pero "atribuir un significado" no es lo mismo que "ser capaz de determinar si es cierto o falso".

Pues en realidad entiendo exactamente que en el libro quisiste decir esto último que has dicho, pero luego al intentar transcribirlo acá con mis propias palabras, en el afán de ser más exacto, terminé embarrando el asunto.

Lo que digo es que la lógica clásica, bivaluada, en la que cada propiedad considerada es verdadera o falsa sobre cada objeto o grupo de objetos, está ahí, y es la que es, y todos sabemos manejarla desde pequeños, y que nadie puede darnos gato por liebre haciéndonos creer que algo ilógico es lógico o vicerversa, y que es la única que hace falta para fundamentar la matemática. Todo ello sin perjuicio de que otras lógicas con otras características puedan ser igualmente útiles para formalizar algunos aspectos de la realidad. Pero sin duda esas lógicas podrán formalizarse en el seno de la teoría de conjuntos basada en la lógica clásica, bivaluada, etc.

Remarco en azul lo que me parece más importante de ese párrafo.
Me pregunto si los estudiosos de dichas lógicas tienen claro que,
todo lo que razonan sobre lógicas alternativas,
lo hacen, psicológicamente e instintivamente, mediante la lógica bivaluada clásica.

Cuando algunas personas se lanzan al juego de pensar en las posibilidades de lógicas alternativas, lo que me parece honesto de hacer es que, en verdad,
cambien completamente su reacción psicológica, instintiva, y que hagan el intento de razonar "de fábrica" con una lógica que no sea la clásica.

Nunca intenté hacerlo, aunque me parece posible.
Sería como "pensar en otro idioma".
Al aprender otro idioma, uno tiene que cambiar algunas estructuras mentales.
Pero siempre está de referencia el hablador nativo de ese idioma.

No conocemos "razonadores nativos" de otras lógicas, pero podríamos intentar siimularlo al punto de que un interlocutor no fuera capaz de distinguir...

En resumen: estoy delirando. 

A no ser que llames "algoritmo" a "comprobar que el 4 es suma de dos primos, y que el 6 también lo es, etc." Yo a eso no lo llamaría algoritmo, porque no se acaba nunca.

Pues entonces tengo que rectificarme, y llamarle mejor un "proceso".

Cuando se definen las Máquinas de Turing, se deja abierta la posibilidad de que el proceso no termine nunca. Creí entender del capítulo 7, en la tesis de Church, que un Algoritmo y una Máquina de Turing son lo mismo, y que conviene dejar abierta la posibilidad de que haya Máquinas de Turing cuyo proceso no acaba nunca.

En todo caso, no tengo problemas en distinguir estos casos:

(1) Un proceso secuencial que acaba en finitos pasos.
(2) Un proceso secuencial que no se acaba nunca.
(3) Un criterio que le da sentido a la idea de recorrer infinitos pasos.

En realidad conviene que ejemplifique con los números naturales para que se entienda de qué estoy hablando:

(1) Un proceso que analiza N números naturales, desde el 1 en adelante, de uno en uno, y verifica si en cada caso vale una propiedad P(k).
(2) Un proceso que analiza todos los números naturales, desde el 1 en adelante, de uno en uno, y verifica si en cada caso vale una propiedad P(k).
(3) El criterio de que "entendemos el significado" de recorrer la lista de naturales de uno en uno, y que una propiedad P(k) está bien definida (es verdadera o falsa) para cada k, aunque no tengamos necesariamente un proceso que nos vaya dando sucesivamente los valores verdadero/falso de cada P(k).

Lo que quiero vislumbrar aquí es que el párrafo (3), que se exige al modelo natural de toda teoría aritmética, es algo más general que un algoritmo.

La expresión "un algoritmo para determinar si una propiedad tiene sentido" me desconcierta. Un algoritmo podría servir para determinar si una propiedad se cumple o no, pero no sé qué tendría que hacer un algoritmo para comprobar que una propiedad tiene sentido.

A no ser que llames "algoritmo" a "comprobar que el 4 es suma de dos primos, y que el 6 también lo es, etc." Yo a eso no lo llamaría algoritmo, porque no se acaba nunca.

Sin afán de discutir por discutir,
pero no veo problema en redefinir un poco las Máquinas de Turing para aceptar algunas respuestas de longitud infinita.

Es decir, si ya aceptamos que podemos razonar sobre el conjunto infinito de números naturales, y que tiene sentido hablar de una cinta (o memoria RAM) infinita en una Máquina de Turing, no es complicado imaginar que algunos problemas devuelvan como resultado respuestas de longitud infinita, pero útiles.

Por ejemplo, dado un procedimiento que genera la lista sucesiva de dígitos del número \(\pi\), si se asegura que la Máquina de Turing escribe cada dígito en una porción de la cinta sobre la que en pasos posteriores nunca se vuelve a posar el cabezal sobre dicha porción, entonces los dígitos quedarían en la cinta impresos de izquierda a derecha, digamos, en forma sucesiva (quizás separados por un signo especial, como el típico espacio en blanco), y algún proceso externo podría ir tomando esos dígitos a medida que aparecen, y ahcer algo útil con ellos.

Aunque, claro, quizás esto no modifique en nada las cuestiones de incompletitud de la aritmética que has desarrollado en capítulos posteriores.

Si, pero en el sentido débil de establecer lo que significa que la afirmación sea verdadera o falsa, que no es lo mismo que ser capaz de averiguar si la propiedad es verdadera o falsa.

Aclarado.

Ahora, si por algún motivo quieres eliminar, no sólo la infinitud de los signos, sino realmente el de las variables, el problema es que no puedes acotar cuantas variables puede requerir la formalización de un argumento dado, y sería del todo inaceptable decir que el último teorema de Fermat no es demostrable porque requiere más variables que las que tiene el lenguaje de las matemáticas.

La razón por la que quiero quitar infinitas variables es para que las "valoraciones" estén sin lugar a dudas y siempre bien definidas.

Agregando comentarios de puro gusto,
resulta que el método científico obliga a brindar al menos a un colega distinto que uno mismo una versión impresa de la demostración de un Teorema a fin de que éste la verifique.
Para imprimir una demostración cualquiera, no podemos emplear más que el número de partículas del Universo.

Si el Universo es finito, podemos tomar su número de partículas como el valor N del número de variables en una teoría matemática, y nadie se vería perjudicado por tal convención.

Sin embargo, si por algún motivo se precisaran más variables,
entonces habría que dar algún rodeo en los razonamientos para justificar una demostración que, obligadamente, tendrá que darse de modo no del todo formal,
pero convencer a los demás de que,
aunque no es posible transcribirla por escrito, aún así es formalizable y por tanto correcta.

O sea, no quedaría otra opción que conformarse con "la idea de la demostración". 

Al obtener una demostración así (sin agregar variables innecesariamente, sino sólo por mera necesidad), el formalismo se volvería una ficción.

Cita de: argentinator en 02/02/2017, 01:42:25 pm
Algo que me molesta un poco respecto este tema, es que en la metamatemática también se usan símbolos informalmente para representar en abstracto expresiones genéricas.

Hay allí una operación de abstracción que, aunque queda claro en el texto qué es lo que se hace, me queda la duda de si no hay una "formalización encubierta", que afirma de sí mismo ser parte de un complejo metalenguaje.

En la última frase me pierdo por completo. No sé lo que quieres decir.

Pues que la expresión \(x=x \wedge y=z) de un lenguaje \(\mathcal L\) es bien concreta,
porque es una cadena de signos específica del lenguaje,
pero cuando decimos \(s=t \wedge \alpha), donde \(s,t\) son términos y \(\alpha\) una fórmula, ya las letras \(s,t,\alpha\) son metasignos, y no signos.

Pero de todas maneras, se representan como caracteres en el papel impreso.
Al hablar en general de "términos" y "fórmulas", claramente hay un proceso de abstracción.
Esas abstracciones ahora se han representado con símbolos (\(s,t,\alpha\)).

Si hacemos una metametateoría, en donde ahora \(s,t,\alpha\) son los "signos del lenguaje" y sus "valoraciones" son ahora los términos y/o fórmulas de \(\mathcal L\),
entonces tendríamos una teoría formal sobre la metamatemática.

El hecho de que esta metametateoría no se mencione explícitamente, pero que es posible y que, de hecho, los signos \(s,t,\alpha\) se están usando realmente sobre el papel a fin de cuentas, es lo que me hace decir que hay una formalización encubierta.

Cita de: argentinator en 02/02/2017, 01:42:25 pm
pero en cualquier caso creo que lo importante es la prevención de que haya una sucesión previa de expresiones \(\theta_0,…,\theta_m\).
,
tales que cada expresión en la lista se conforma de expresiones previas, atendiendo a ciertas reglas de construcción.
Eso evitaría que alguien como yo se queda mosqueado preguntando si acaso la recursión de estas cadenas de signos está bien construida, o si hay algún bucle o descenso infinito...

Pero eso es lo que dice la definición 1.5, ¿no? No capto lo que echas en falta.

Pues a tu texto no le hecho en falta nada.
De hecho, lo contrario, me pareció ver que en otros textos se dan definiciones recursivas, como las caracterizaciones posteriores a tu definición,
que dicen que un "término" es esto y aquello, y una "fórmula" esto y aquello,
y en un principio podría haber hueco para algún descenso infinito
(aunque seguramente producto de una mala interpretación mía, de todos modos).

Cita de: argentinator en 02/02/2017, 01:42:25 pm
Si hubiese N variables, una valuación tendría \(2^N) valores posibles del modelo M, y esto tendría un sentido mucho más claro, toda posible valuación estaría siempre bien definida.

Y si consideras sólo valoraciones definidas sobre un número finito de variales, también todas las valoraciones estarían bien definidas, y es perfectamente viable. Si limitas el número de variables, volverías falsos todos los razonamientos sobre lenguajes formales que en un momento dado necesitan considerar una variable "nueva", pues siempre cabría el riesgo de que no quedaran más. Eso sería un problema conceptual mucho mayor, que te obligaría a ir extendiendo tu lenguaje cada vez que hiciera falta.

No recuerdo ningún razonamiento que obligue a considerar una variable "nueva".
¿Alguno que tengas a mano?

Nota aparte: Lo que puse del \(2^N\) es una estupidez sin sentido. En realidad lo correcto es decir que, suponiendo que el modelo \(M\) está bien definido, al usar sólo \(N\) variables, basta considerar lo que significa dar una valoración cuyo "dominio" es un conjunto de \(N\) elementos (las variables del lenguaje formal) y cuyo "codominio" es el universo \(M^N\), el cual está definido, por ser un producto cartesiano finito de conjuntos (informales) bien definidos...

Otro enfoque que siguen otros libros consiste en definir las sustituciones sin tantas distinciones, pero luego definir lo que es un término "sustituible" en una expresión, en el sentido de un término que si se mete en lugar de una variable en una expresión no produce ninguno de los problemas a los que te refieres. Así, la opción que he seguido yo es la de definir una sustitución "segura", que nunca da problemas, y la alternativa es definir una sustitución más sencilla pero "insegura", y en cada ocasión que se usa exigir que el término que se sustituye cumpla ciertos requisitos para no dar lugar a problemas.

Pues tu enfoque me parece más conveniente, sistemático.

(Alguna vez en la vida tenía que tirarte una flor.) 

Creo que eso es lo que dices que hay que probar, pero ya está probado.

De acuerdo.

Igual me queda el sabor de que es bueno notar que gracias al lenguaje formal y sus axiomas, es posible generar en forma sistemática toda una familia de relaciones bien definidas en el modelo en cuestión. Es decir, se pone de manifiesto una rica estructura en el "universo informal" que vive en territorio semántico, que de otro modo quizás uno no notaría que está ahí.

No estoy seguro de saber en qué estás pensando. En una teoría aritmética puedes demostrar muchas cosas sin necesidad de añadir axiomas. Ciertamente también puedes añadir axiomas, pero ¿estás pensando en eso realmente? No lo tengo claro. ¿Podrías poner un ejemplo de a qué clase de propiedades te refieres, para saber si realmente estás considerando cosas que requieren añadir axiomas o no?

Pues sigo con el mismo tipo de reflexión que el párrafo anterior.
Por ejemplo, al agregar axiomas como los de las teorías de conjuntos elementales B ó Z*, se pueden definir funciones por recurrencia sobre conjuntos, resultado que se demuestra allí en tu texto.

Esto es una propiedad de los números naturales,
que incluso se sale del universo informal \(\mathbb N\) de los números naturales.

Cuando en un principio has escrito que un modelo \(M\) tiene que tener un criterio por el cual "tiene sentido" o "se entiende lo que signfica" que una cierta propiedad es verdadera o no para elementos de \(M\),
y en particular para los naturales, el criterio es que: recorriendo los naturales de uno en uno, entendemos qué quiere decir que cada natural la cumple o no,
en principio yo pienso en propiedades que hablan solamente de números naturales
(el número 2k+1 es expresable como suma de dos primos).

Pero si ahora añadimos propiedades que hablan de cosas que no son números naturales
¿no amplía esto el "cosmos" de las propiedades bien definidas de los números naturales?

Si tenemos una función \(\phi:\mathbb N\times U\to U\), definido sobre cierto universo \(U\) que sirve de modelo a la teoría de conjuntos ZF*, digamos, ¿estamos todavía hablando de propiedades de \(U\), o nos hemos salido del modelo?
Y el hecho de que bajo ciertas condiciones es posible definir una función por recurrencia en \(U\), ¿no es acaso una propiedad de los números naturales per se?

El Principio de Inducción dice cosas cada vez más complejas a medida que se amplían las teorías axiomáticas que permiten definir los naturales.

No sé muy bien cómo hay que entender esta frase. Las máquinas de Turing caracterizan las funciones recursivas, que son funciones "de verdad", definibles informalmente, luego con ellas estás haciendo semántica. Una máquina de Turing es abstracta en el mismo sentido en que la suma de números naturales es abstracta, pero eso no impide que puedas hablar informalmente de ambas. La afirmación "existe una máquina de Turing capaz de elevar al cuadrado cualquier número natural que se le dé", es tan válida informalmente como la afirmación "existen números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios".

Es cierto. Había olvidado por un momento la caracterización de máquinas de Turing por funciones recursivas de los naturales informales.

No obstante, "el trabajo" de las Máquinas de Turing se hace sobre "lenguajes formales", transformando una cadena de signos en otra, y nunca dando respuestas concretas acerca del terreno semántico.

Cuando afirmas cosas como ésta me sería de mucha ayuda que me señalaras dónde "se afirma", para saber a qué te refieres exactamente.

Lamento volverme impreciso a veces.
He intentado seguir un orden y mantener las referencias,
pero luego han comenzado a saltarme ideas para atrás y para adelante,
y ya no recuerdo dónde leí cada cosa.
Sorry... 

Aquí sí que me has despistado del todo. Se supone que hablas de la paradoja de Russell en el capítulo 3, pero ¿seguro que no te refieres a la paradoja de Skolem en el capítulo 4?

Es cierto, perdón, me refiero a Skolem.

[argentinator]

No le veo el sentido. N es numerable, luego seguro que no existe una biyección entre N y cualquier cosa que sea no numerable.

Sospecho que no has acabado de digerir bien la paradoja de Skolem. Si quieres profundizamos en ella, pero hoy lo dejo ya, que son las 2:20 de la madrugada.

Pues pongo el tema de Skolem aparte, porque es posible que no lo esté entendiendo.

En los cálculos que hay en tu texto, aparece una teoría de conjuntos, muy consistente ella, supongo, en la cual se prueba formalmente el clásico Teorema de Cantor, en donde \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\) no son biyectables, lo cual quiere decir que "no existe un conjunto F, tal que F es una función biyectiva entre \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\)".

Hasta ahí, nada nuevo.

Sin embargo, y esto es lo que entendí, dado que la teoría de conjuntos tomada es consistente, tiene que tener un modelo numerable con universo \(U\).
Además pueden construirse en \(U\) representantes de los naturales, y de los conjuntos \(\mathbb N\) y \(\mathcal P\mathbb N\).
Podemos considerar todos los objetos de \(U\) que son interpretados como "conjuntos", que a la vez son subconjuntos de \(\mathbb N\), o bien, elementos de \(\mathcal P\mathbb N\).

Como tales objetos están en un universo numerable \(U\) (y hay infinitos de ellos), tiene que haber una sucesión de objetos de \(U\) que son la extensión de \(\mathcal P\mathbb N\).

Luego hay una biyección (informal) en el universo \(U\), entre \(\mathbb N\) y el \(\mathcal P\mathbb N\) del modelo en cuestión.

Pero entonces se interpreta que dicha biyección no puede nunca representar un "conjunto", pues si pudiera, sería una función (formal) F biyectiva, absurdo.

Entiendo que la biyección (informal) mencionada no puede ser un elemento de \(U\), sino que sólo existe intuitivamente.

¿Qué me falta?

O la conclusión es que \(\mathcal P\mathbb N\) es "informalmente numerable",
o bien que la extensión de \(\mathcal P\mathbb N\) no puede explicitarse completamente en el modelo numerable \(U\).

Ahora me hiciste dudar de qué significa realmente la paradoja de Skolem.