[cristhiam]

Hola.

Un ciclista realiza su entrenamiento habitual de las mañanas. Sale del punto A y recorre 20 km hasta el punto B y después 40 km hasta la locación C. En ese lugar recibe una llamada de su compañero de entrenamiento que acaba de llegar al punto A, quien desea saber la posición actual del ciclista para lograr alcanzarlo.

Con base en el caso, determina la posición actual, en km, del primer ciclista respecto al punto A.



posdata: me explican como resolver este problema, pues mis conocimientos de vectores son muy limitados(entiendo cuando me dan los componentes (x,y) de cada vector o en su defecto un plano de posicionamiento de los vectores), pero en la gráfica vista no hay plano ni componentes de ambos vectores, que temas debo conocer y estudiar cuando se tienen ángulos y eso de km en vectores, espero me puedan entender y proporcionar una información clara, gracias por sus comentarios.

[mathtruco]

Hola cristhiam.

Tienes un triángulo ABC con dos lados conocidos: AB y BC. Debes determinar cuando vale el lado AC. Para eso puedes aplicar el Teorema del Coseno. Bastaría determinar cuanto vale el ángulo correspondiente al vértice B del triángulo y aplicar el teorema.

Aplica esta idea y cuéntanos si tienes dudas.


P.D. En rojo corregí una errata. En su post, el_manco explica una forma más natural de resolver el problema.

[cristhiam]

gracias mathtruco por el aporte y creo que quisiste decir que debo encontrar en lado CA (y no el AB) por que es el que falta.

Bueno, no se si esta bien pero tengo esto:

el ángulo correspondiente al vértice B del triángulo seria 90 grados, pues la suma de los dos angulos conocidos que son 30 y 60 dan 90 - 180 equivaldría al angulo del vértice B.

aplicando Teorema de Coseno, procedi: \( CA^2=40^2 + 20^2 -2(40)(20)COS 90º \)

\( CA^2=1600 + 400 - 0 \)

\( CA= \sqrt[ ]{2000} \)

\( CA= 44,7 Km \)

¿esta correcto esto?

[Rectilíneo]

Hola cristhiam,

el ángulo correspondiente al vértice B del triángulo seria 90 grados, pues la suma de los dos angulos conocidos que son 30 y 60 dan 90 - 180 equivaldría al angulo del vértice B.

el ángulo no es de 90 grados. Respecto a la vertical el ángulo \( \hat{BC} \) forma \( 30^º \) (tal como muestra el dibujo). El ángulo \( \hat{AB} \) forma \( 30^º \) respecto a la vertical. Por tanto, el ángulo del vértice B vale \( 180^º-30^º-30^º=120^º \).

Considerando este ángulo la distancia entre los dos puntos te debería dar \( 20\sqrt{7} \) km, aproximadamente \( 52,915 \) km.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una cosa más. El enunciado pregunta:

Con base en el caso, determina la posición actual, en km, del primer ciclista respecto al punto A.[/b]

 Lo que hallas por el método que te han indicado es la distancia, pero no la posición. Para indicar la posición puedes hallar las componentes del vector \( \overrightarrow{AC} \).

 Para ello ten en cuenta que:

\( \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \).

 y por trigonometría básica:

\( \overrightarrow{AB}=(20cos(60^o),20sin(60^o)) \)

\( \overrightarrow{BC}=(-40sin(30^o),20cos(30^o)) \)

Saludos.

[Rectilíneo]

Y ya que estoy te digo como se podría resolver el ejercicio sin utilizar el teorema del coseno (empleando vectores): considerando el punto \( A \) como el \( (0,0) \), tenemos que hallar cual es el punto \( C \) y calcular el módulo \( |\overrightarrow{AC}| \).

Primero calculamos cual es el punto \( B \) utilizando la definición de seno y coseno: \( B=(20\cos(60), 20\sin(60))=(10, 10\sqrt{3}) \)

El punto \( C=(10-40\cos(60), 10\sqrt{3}+40\sin(60))=(-10, 30\sqrt{3}) \)

Entonces \( \overrightarrow{AC}=(-10, 30\sqrt{3})-(0,0)=(-10, 30\sqrt{3}) \)

Finalmente el módulo \( |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{(-10)}^2+{(30\sqrt{3})}^2}=\sqrt{2800}=20\sqrt{7}\approx{52,915} \) km.


PD: Se ha adelantado el_manco. Más veloz que un rayo.

[mathtruco]

Añado un dibujo (me demoré tanto en hacerlo que ya respondieron Rectilíneo y el_manco  )



La idea que expresa el_manco es más corta. Pero como ejercicio podrías intentar las dos, debes llegar a lo mismo.

...creo que quisiste decir que debo encontrar en lado CA (y no el AB) por que es el que falta.

Correcto!

La siguiente idea puede verse mejor con el dibujo que puse.

el ángulo correspondiente al vértice B del triángulo seria 90 grados, pues la suma de los dos angulos conocidos que son 30 y 60 dan 90 - 180 equivaldría al angulo del vértice B.

el ángulo no es de 90 grados. Respecto a la vertical el ángulo \( \hat{BC} \) forma \( 30^º \) (tal como muestra el dibujo). El ángulo \( \hat{AB} \) forma \( 30^º \) respecto a la vertical. Por tanto, el ángulo del vértice B vale \( 180^º-30^º-30^º=120^º \).

[cristhiam]

gracias a todos por su ayuda, las iré analizando de  a poco.

Para ir paso a paso, Rectilíneo gracias por la corrección del angulo, en verdad ha sido\(  120º \), pero como consigues esto:

Considerando este ángulo la distancia entre los dos puntos te debería dar \( 20\sqrt{7} \) km, aproximadamente \( 52,915 \) km.

Saludos.

yo la hice supuestamente con el teorema del coseno, y esto obtuve:


procedí: \( CA^2=40^2 + 20^2 -2(40)(20)COS 120º \)

\( CA^2=1600 + 400 - 800 \)

\( CA= \sqrt[ ]{1200} \)

\( CA= 34,64 Km \)

¿que sigo haciendo mal?

[Rectilíneo]

¿que sigo haciendo mal?

\( \cos(120º)=-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Entonces \( {(CA)}^2=1600+400+800=2800 \)

[cristhiam]

Encontré esto en Wikipedia:

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

\( C^2 =A^2 + B^2 -2AB.COS \alpha \)

EL 2 ESTA RESTANDO........ ¿Por que sumas?

Rectifico este mensaje, ya me di cuenta que menos por menos da (+)  

creo que Sugata escribió al mismo instante de mi corrección.