[Michel]

Construir un triángulo rectángulo conociendo las medianas relativas a la hipotenusa y a un cateto

[mathtruco]

Hola Michel.

Aporto la mitad de una respuesta.

Spoiler

- Sea \( ABC \) el triángulo rectángulo en \( C \).
- Es fácil ver que la mediana de la hipotenusa \( \overline{AB} \) es igual a la mitad de \( \overline{AB} \).

Para convencernos de esta última afirmación, podemos dibujar una circunferencia circunscrita al triángulo. Llamemos \( O \) al centro de una circunferencia. Tenemos que \( \overline{AB} \) es el diámetro de la circunferencia y \( \overline{CO} \) su radio, que también es la mediana de la hipotenusa, lo que prueba el resultado.

Lo que me falta es usar la información de la dimensión de la otra mediana para concluir, pero no veo como.

[cerrar]

Si nadie da una respuesta completa, te agradezco que me des una indicación extra para concluir.

P.D. En mi siguiente mensaje termino de explicar mi idea.

[sugata]

Ahora no tengo tiempo.
Yo tenía pensado usar que el baricentro está a \( 2/3 \) del vértice de la mediana.
Mira a ver si con eso puedes seguir.

[mathtruco]

Continúo con mi idea del mensaje anterior.

Spoiler

- Sea \( ABC \) el triángulo rectángulo en \( C \).
- Es fácil ver que la mediana de la hipotenusa \( \overline{AB} \) es igual a la mitad de \( \overline{AB} \).

La última afirmación la expliqué en el mensaje anterior.

Entonces, conocemos la medida de la hipotenusa.
Supongamos que conocemos la mediana relativa al cateto \( \overline{CB} \), y llamemos \( A' \) al punto medio de \( \overline{CB} \), y "\( a \)" a la medida del cateto \( \overline{CB} \) y "\( b \)" a la medida del cateto \( \overline{AC} \).

Se dibujan los dos triángulos rectángulos \( ABC \) y \( AA'C \) de hipotenusas conocidas. Notar que la medida de la hipotenusa de \( AA'C \) es la mediana dada.

En el triángulo \( ABC \) la medida de los catetos son \( a,b \), y en el triángulo \( AA'C \) la medida de los catetos es \( a/2,b \). Remarcar que las hipotenusas de ambos son conocidas.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras a ambos triángulos rectángulos obteniendo un sistema de 2 ecuaciones de 2 incógnitas, con lo cual obtenemos los valores de los catetos.

[cerrar]

sugata: cuando tengas tiempo nos cuentas tu idea (sin apuro).

[sugata]

No se si funcionará. A ver cuando me ponga a dibujar.

Spoiler

La idea es trisecar ambas medianas y luego hacer coincidir esos \( 2/3 \).
Una vez teniendo eso ya estaría hecho el triángulo ya que tendríamos la mediana del cateto colocada y solo habría que unirla con el otro vértice para tener el cateto
cateto. No se si se podrá.

[cerrar]

[sugata]

La verdad es que la construcción con Geogebra de mi idea es un suplicio, sobre todo en la versión para móvil, pero si parece una construcción factible.

[EnRlquE]

Hola.

 Yo tengo una duda respecto al enunciado  (y en general a enunciados parecidos a este) —por cierto, no he leído detenidamente los aportes de mathtruco y sugata así que espero que lo que anoto en el spoiler de más adelante no sea redundante—. ¿Se conoce únicamente las longitudes de las medianas o se sabe cuál es la disposición de estos segmentos en el plano?, si fuera el último caso creo que la construcción se simplificaría bastante. Anoto lo que se me ocurrió hacer, suponiendo los segmentos conocidos, bajo el siguiente spoiler

Spoiler

Supongamos que \( \overline{XY} \) sea la mediana relativa a la hipotenusa (sin saber necesariamente cuál extremo pertenece a la hipotenusa) y que \( \overline{ZW} \) es la mediana relativa a uno de los catetos del triángulo (nuevamente, sin asumir que sabemos cuál de los extremos del segmento es un vértice del triángulo buscado). Lamemos \( r:=XY. \) El algoritmo es el siguiente:

\( 1. \) Con centro en en uno de los extremos de \( \overline{XY} \) trazamos una circunferencia, que llamaremos \( {\cal C} \), de radio \( r. \) Si \( \{Z,W\}\cap{\cal C}\neq\emptyset \) por comodidad llamamos \( A\in\{X,Y\} \) al centro de la circunferencia y \( M \) al elemento en \( \{X,Y\}\setminus\{A\}. \) Si \( \{Z,W\}\cap{\cal C}=\emptyset \) tomamos el otro extremo de \( \overline{XY} \) y repetimos el proceso anterior (en este caso necesariamente \( \{Z,W\}\cap{\cal C}\neq\emptyset \)).

\( 2. \) Una vez fijados \( A \) y \( M, \) nuevamente por comodidad llamamos \( B \) al elemento en \( \{Z,W\}\cap{\cal C} \) y \( N \) al elemento en \( \{Z,W\}\setminus\{B\}. \) Luego llamamos \( C\in{\cal C} \) al punto de corte de las rectas que contienen a \( \overline{AN} \) y \( \overline{BM}. \) En caso \( C\not\in{\cal C}, \) regresamos al paso \( 1 \) y escogemos el otro extremo de \( \overline{XY} \) como centro de \( \cal C \) y seguimos el algoritmo (esta vez al llegar al paso \( 2 \) si tendremos que \( C\in{\cal C} \)).

\( 3. \) El triángulo \( ABC \) es el que buscamos.

\( \bullet \) Lamentablemente me quedé sin tiempo para adjuntar un dibujo, espero poder hacerlo luego.

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[sugata]

En estos enunciados entiendo que sólo se conoce la longitud, como tu bien has dicho, sería demasiado fácil.
Y ahora voy con mi solución estrictamente de regla y compás, como mandan los cánones

Spoiler

El dibujo espero que se entienda.
Partimos de lo que ha dicho mathtruco.
Tenemos una semicircunferncia de radio la mediana de la hipotenusa, con lo que el diámetro será la hipotenusa.
Trisecamos la mediana de la hipotenusa y trazamos otra circunferencia con mismo centro y radio \( \frac{1}{3} \) de la mediana de la hipotenusa. Ahí se encuentra el baricentro.
Trisecamos la mediana del cateto (en nuestro caso he puesto un cateto de 3 unidades para no tener que trisecarlo en el dibujo.
Trazamos un arco desde un vértice con longitud \( \frac{2}{3} \) de la mediana del cateto y el punto de corte con la semicircunferencia pequeña será el baricentro.
Prolongando el punto de corte H hasta la longitud de la mediana
tendremos el punto de contacto con el cateto.
Ya sólo tenemos que pasar por ese punto una recta hasta el otro punto de la diagonal,
y el punto de corte de esta recta con la semicircunferencia mayor es el otro vértice.
Espero que se entienda el dibujo y mi explicación.

[cerrar]

[Michel]

Hola todos.

Envío la solución que he encontrado para este problema. Espero que sea correcta.

Como siempre, supongamos el problema resuelto, siendo ABC el triángulo rectángulo en A, del que conocemos las longitudes de las medianas AA' y CC'. Sea G el baricentro.

Es sabido que en todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de ésta.

Entonces el vértice A del ángulo recto pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observamos que del triángulo A'GC conocemos los tres lados:

A'C=AA', mediana relativa a la hipotenusa
A'G es 1/3 de esa mediana
CG es 2/3 de la mediana CC'

Entoncs empezamos por construir este triángulo; el resto es, creo, inmediato.

[mathtruco]

Veo que las respuestas de Michel y sugata son las mismas.

Fui yo el que hizo trampa teniendo que hacer un cálculo extra.