[pierozeta]

Buenas noches amigos, les agradecería mucho si me pueden dar una ayuda con el siguiente ejercicio:

Sean \( p=49/100 \) y \( f_n:[0,1]\to [0,1] \) funciones definidas recursivamente por \( f_0(x)=x \) y

\( f_{n+1}(x)=\begin{cases} pf_n(2 x) & \text{si}& 0\leq x\leq 1/2\\p+(1-p)f_n(2x-1) & \text{si}& 1/2\leq x\leq 1\end{cases} \)
Se pide

(a) Hallar \( C_1>0 \) y \( \lambda \in (0,1) \) tales que
\( \forall n,m\in\mathbb N,\forall x\in[0,1], (n<m)\to (|f_n(x)-f_m(x)|\leq C_1\lambda^n). \)

(b) Hallar \( C_2>0 \) y \( \alpha \in (0,1) \) tales que

\( \forall n\in\mathbb N,\forall x_0,x_1\in[0,1], |f(x_0)-f(x_1)|\leq C_2|x_0-x_1|^{\alpha}). \)

(c) Usando (a) y (b), muestre que existe una función continua \( f:[0,1]\to [0,1] \) tal que
\( \forall x\in [0,1],\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x). \)


Escribí \( f_1(x) \) y \( f_2(x) \) para tener una idea, pero no pude avanzar más.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches amigos, les agradecería mucho si me pueden dar una ayuda con el siguiente ejercicio:

Sean \( p=49/100 \) y \( f_n:[0,1]\to [0,1] \) funciones definidas recursivamente por \( f_0(x)=x \) y

\( f_{n+1}(x)=\begin{cases} pf_n(2 x) & \text{si}& 0\leq x\leq 1/2\\p+(1-p)f_n(2x-1) & \text{si}& 1/2\leq x\leq 1\end{cases} \)
Se pide

(a) Hallar \( C_1>0 \) y \( \lambda \in (0,1) \) tales que
\( \forall n,m\in\mathbb N,\forall x\in[0,1], (n<m)\to (|f_n(x)-f_m(x)|\leq C_1\lambda^n). \)

(b) Hallar \( C_2>0 \) y \( \alpha \in (0,1) \) tales que

\( \forall n\in\mathbb N,\forall x_0,x_1\in[0,1], |f(x_0)-f(x_1)|\leq C_2|x_0-x_1|^{\alpha}). \)

(c) Usando (a) y (b), muestre que existe una función continua \( f:[0,1]\to [0,1] \) tal que
\( \forall x\in [0,1],\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x). \)


Escribí \( f_1(x) \) y \( f_2(x) \) para tener una idea, pero no pude avanzar más.

Ten en cuenta que:

\( \color{red}|f_1(x)-f_0(x)|\color{black}=(2p-1)x \) si \( 0\leq x\leq 1/2 \)
\( \color{red}|f_1(x)-f_0(x)|\color{black}=(2p-1)(1-x) \) si \( 1/2\leq x\leq 1 \)

de donde:

\( \|f_1-f_0\|_{\infty}=(2p-1) \)

En realidad sería: \( \|f_1-f_0\|_{\infty}=\dfrac{1}{2}(2p-1)\leq (2p-1) \), pero no cambia la idea.

Ahora:

\( |f_{n+1}(x)-f_n(x)|=p|f_n(2x)-f_{n-1}(2x)|\leq (1-p)|f_n(2x)-f_{n-1}(2x)| \) si \( 0\leq x\leq 1/2 \)
\( |f_{n+1}(x)-f_n(x)|=(1-p)|f_n(2x-1)-f_{n-1}(2x-1)| \) si \( 1/2\leq x\leq 1 \)

Por tanto:

\( \|f_{n+1}-f_n\|_\infty\leq (1-p)\|f_{n}-f_{n-1}\|_\infty \)

De ahí se deduce que:

\( \|f_{n+1}-f_n\|_\infty\leq (2p-1)(1-p)^n \)

y:

\( \|f_m-f_n\|_\infty\leq (2p-1)\displaystyle\sum_{k=n}^{m-1}{}(1-p)^k=\dfrac{(2p-1)((1-p)^n-(1-p)^m)}{p}\leq \dfrac{(2p-1)(1-p)^n}{p} \)

Con eso pruebas (a).

Revisa el enunciado de (b).

Saludos.

CORREGIDO

[pierozeta]

Muchas gracias el_manco, con tu idea voy intentar la (b)

[pierozeta]

Aqui :

\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)x \) si \( 0\leq x\leq 1/2 \)
\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)(1-x) \) si \( 1/2\leq x\leq 1 \)

Creo que debe ser \( |f_1(x)-f_0(x)| \), cierto?

[Luis Fuentes]

Hola

Aqui :

\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)x \) si \( 0\leq x\leq 1/2 \)
\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)(1-x) \) si \( 1/2\leq x\leq 1 \)

Creo que debe ser \( |f_1(x)-f_0(x)| \), cierto?

Cierto. Ahora lo corrijo.

Saludos.

[pierozeta]

Un gran saludo para ti también, abrazos!