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Buenas noches, tengo la siguiente duda:

\( \binom {m+1} {n+1} = \binom {m} {n} + \binom {m-1} {n} + ... + \binom {n} {n}  \)

Sabemos y hemos probado anteriormente que

\( \binom {n} {m} = \binom {m-1} {n-1} + \binom {m-1} {n} \) (no se si guardará alguna relación)

Para \( n=1 \) se tiene

\( \binom {m+1} {2}= \binom {m} {1} +  \binom {m-1} {1} + ... + \binom {1} {1} = m+ (m-1) + ... + 1 = \displaystyle\frac{m(m+1)}{2} \)

Sabiendo que \( \binom {m+1} {2} = \displaystyle\frac{(m+1)!}{(2!\cdot (m+1-2)!)} = \displaystyle\frac{(m+1)m}{2} \) y queda demostrado para \( n=1 \), ahora suponiendo válido para \( n \), no me sale para \( n+1 \), alguna indicación o resolución, para el caso general sera bienvenida.

Gracias de antemano

Saludos.

[EnRlquE]

Hola latex.

 Habiendo probado la identidad de Pascal: \( \binom{\ell}{k}=\binom{\ell-1}{k}+\binom{\ell-1}{k-1} \) (tienes un error de escritura en la fórmula que escribiste). Podemos usar inducción en \( m \) para probar la igualdad que queremos. Para \( m=1 \) (y todo \( n\leq m \)) todo se reduce a hacer la comprobación correspondiente (que deberías hacer).

 Ahora supongamos que la igualdad es válida para cierto \( m \) (y todo \( n\leq m \)). Podemos probar que si \( n=m \) la igualdad que queremos probar es válida (¡completa este detalle!); mientras que si \( n<m \), por la identidad de Pascal

\begin{equation}\label{E1}
\binom{m+2}{n+2}=\binom{m+1}{n+1}+\binom{m+1}{n+2},
\end{equation}

y para concluir basta aplicar la hipótesis inductiva en el último término del lado derecho de \eqref{E1} (nota que \( n+1\leq m \)). Completa los detalles faltantes y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

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Hola enrique, me surge una duda (puede ser obvia), la inducción se aplica sobre \( n \), es decir

Por hipótesis \( \binom {m+1} {n+1} = \binom {m} {n} +... +\binom {n} {n} \) y ahora debemos debemos probar que se cumple \( \binom {m+1} {n+2} = \binom {m} {n+1} + ... + \binom {n} {n} \), es decir yo presupongo que siempre es válido para \( m \), sin importar la relación de orden entre \( n \) y \( m \), ¿porque debo considerar dichos, casos?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola enrique, me surge una duda (puede ser obvia), la inducción se aplica sobre \( n \), es decir

Por hipótesis \( \binom {m+1} {n+1} = \binom {m} {n} +... +\binom {n} {n} \) y ahora debemos debemos probar que se cumple \( \binom {m+1} {n+2} = \binom {m} {n+1} + ... + \binom {n} {n} \), es decir yo presupongo que siempre es válido para \( m \), sin importar la relación de orden entre \( n \) y \( m \), ¿porque debo considerar dichos, casos?

No estoy seguro de entender tu pregunta; no sé si quieres seguir el camino propuesto por Enrique u otro.

En el que propone Enrique, la inducción NO es sobre \( n \), sino sobre \( m \).

Entonces a partir de aquí:

\( \begin{equation}\binom{m+2}{n+2}=\binom{m+1}{n+1}+\binom{m+1}{n+2}, \end{equation} \)   (*)

Por hipótesis de inducción:

\( \binom{m+1}{n+2}=\binom{m}{n+1}+\binom{m-1}{n+1}+\ldots+\binom{n+1}{n+1} \)

y sustituyendo en (*) ya lo tienes.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola latex.

 En la indicación que te estoy dando antes te sugiero aplicar inducción sobre \( \color{blue}m. \) Concretamente, la hipótesis inductiva que te propongo probar es

\( P(m): \) La igualdad \( \binom{m+1}{n+1}=\binom{m}{n}+\binom{m-1}{n}+\dots+\binom{n}{n} \) vale para todo \( n\leq m. \)

 Lo que hago en mi mensaje anterior es indicarte como probar que \( P(1) \) es verdad y además suponiendo \( P(m) \) válida te indico como mostrar que \( P(m+1) \) también lo es. De esta forma probamos que \( P(m) \) es válida para todo \( m\in\mathbb{N}. \)

 Si quisiéramos aplicar inducción sobre \( n \) (que es absolutamente posible), la idea de la prueba sería muy parecida. Iniciaríamos como en tu primer mensaje y haríamos el paso inductivo de forma parecida a como te indiqué antes. Pero es importante que tengas presente que en este caso la hipótesis inductiva cambia; te sugiero que la escribas bien para que te quede completamente claro.

 Ambos caminos a la hora de probar la igualdad son completamente válidos, en mi anterior respuesta me decanté por uno de ellos simplemente porque fue lo primero que pensé; de todas formas espero que con lo que aquí te comento puedas completar el otro camino que tienes en mente y al final te quedes con el que prefieras. Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. Mientras escribía mi respuesta el_manco se me adelantó  .

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Vale, intentaré probar ambos caminos a ver si consigo realizarlo.

Muchas gracias por vuestro tiempo

Saludos.