[cristhiam]

Hola, me piden encontrar el centro, los semiejes transversal y conjugado, distancia focal de las siguientes hipérbolas.

a) \( \displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)
b) \( -\displaystyle\frac{x^2}{9}+\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)
c) \( x^2-y^2=16 \)
d) \( \displaystyle\frac{(x+2)^2}{4}-\displaystyle\frac{(y-2)^2}{2}=1 \)
e) \( \displaystyle\frac{(x-1)^2}{2}-\displaystyle\frac{(y-2)^2}{3}=1 \)

he intentado:


con el 1ero. a) \( \displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)

Centro(0,0)

Semieje transversal(a):
\( a^2=9 --> a=\sqrt[ ]{9} --> a=3 \)

Semieje conjugado(b):
\( b^2=16 --> b=\sqrt[ ]{16} --> b=4 \)

Distancia focal(c):
\( c=\sqrt[ ]{a^2+b^2} --> c=\sqrt[ ]{25} --> c=5 \)


Con el 2do. b) \( -\displaystyle\frac{x^2}{9}+\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)

prefiero verlo así: \( \displaystyle\frac{y^2}{16}-\displaystyle\frac{x^2}{9}=1 \)

Centro(0,0)

Semieje transversal(a):
\( a^2=16 --> a=\sqrt[ ]{16} --> a=4 \)

Semieje conjugado(b):
\( b^2=9 --> b=\sqrt[ ]{9} --> b=3 \)

Distancia focal(c):
\( c=\sqrt[ ]{a^2+b^2} --> c=\sqrt[ ]{25} --> c=5 \)


En el 3ero. c) \( x^2-y^2=16 \)

\( \displaystyle\frac{x^2}{16}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=\displaystyle\frac{16}{16} \)

\( \displaystyle\frac{x^2}{16}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)

Centro(0,0)

Semieje transversal(a):
\( a^2=16 --> a=\sqrt[ ]{16} --> a=4 \)

Semieje conjugado(b):
\( b^2=16 --> b=\sqrt[ ]{16} --> b=4 \)

Distancia focal(c):
\( c=\sqrt[ ]{a^2+b^2} --> c=\sqrt[ ]{32} \)


En el 4to. d) \( \displaystyle\frac{(x+2)^2}{4}-\displaystyle\frac{(y-2)^2}{2}=1 \)

Centro(-2,2)

Semieje transversal(a):
\( a^2=4 --> a=\sqrt[ ]{4} --> a=2 \)

Semieje conjugado(b):
\( b^2=2 --> b=\sqrt[ ]{2} \)

Distancia focal(c):
\( c=\sqrt[ ]{a^2+b^2} --> c=\sqrt[ ]{6} \)


¿están bien los cuatro primeros?

[EnRlquE]

Hola cristhiam.

 Las cuentas que haces están bien, pero (usando tu notación) la distancia focal en realidad es \( 2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2c. \) En todos los casos calculaste únicamente \( c. \)

 Por otro lado, no se las definiciones que manejas, pero hasta donde se es más o menos estándar definir a los ejes transversal y conjugado como segmentos uniendo ciertos pares de puntos que la hipérbola define. Si tus definiciones son como te digo es bueno que tengas presente que los valores de \( a \) y \( b \) por sí solos no determinan los ejes transversal y conjugado.

Saludos,

Enrique.