Título corregido: Duda con respecto a funciones generatricez y suceciones
Estaba haciendo un razonamiento paralelo al libro, que es el siguiente:
\( 1 = (1-x) (1+x+x^2+x^3+x^4+...) \)
Ya que al realizar la separacion correspondiente nos queda:
\( 1 *(1+x+x^2+x^3+x^4+...) - x * (1+x+x^2+x^3+x^4+...) \)
lo que es igual a
\( (1+x+x^2+x^3+x^4+...) - (x+x^2+x^3+x^4+x^5...) \)
Luego de esa resta, lo que hay desde x para adelante en ambos terminos es lo mismo, por lo tanto se van
\( (1+ \xcancel{x+x^2+x^3+x^4+...}) - (\xcancel{x+x^2+x^3+x^4+x^5...}) = 1 \)
Por lo tanto, el resultado luego de cancelar es 1.
\( 1 = (1-x) (1+x+x^2+x^3+x^4+...) \)
Dividimos en ambos lados de la formula por \( (1-x) \), dando lugar a :
\( \frac{1}{1-x} = (1+x+x^2+x^3+x^4+...) \)
El problema esta aca, yo conclui que era la funcion generatriz para la sucecion de infinitos 1. Pero el libro dice que:
"entonces, obtenemos que \( \frac{1}{1-x} \) es la funcion generatriz para la sucecion \( 1,1,1,1,...\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ... \)" Coloca ese \( \frac{1}{1-x} \) que por alguna razon no entiendo.
Otra cosa que me inquieta es que dice que esta formula es valida para todos los reales x tales que \( |x| < 1 \) pero no seria todos los reales con x distinto de 1?
