Hola pepiso.
Te en cuenta que, fijados \( k,n\in\mathbb{N}, \) el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación
\( a_{1}+a_{2}+\dots+a_{k}=n \)
es \( \binom{n+k-1}{k-1}. \) Usando esto podemos determinar el cardinal de \( A \) (definido en el mensaje de el_manco). También podemos determinar el cardinal de \( A_{i} \) pues por ejemplo si \( i=1, \) tenemos que \( d_{1}>7, \) luego \( d_{1}=8+\tilde{d}_{1}, \) con \( \tilde{d}_{1}\geq0. \) De esta forma las soluciones de \( d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}=18 \) están en biyección con las soluciones de \( \tilde{d}_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}=10, \) que pueden encontrarse con la expresión de antes. Similarmente haciendo por ejemplo \( d_{2}=8+\tilde{d}_{2} \) y \( d_{3}=8+\tilde{d}_{3} \) podemos contar los elementos de \( A_{23} \) contando las soluciones de \( d_{1}+\tilde{d}_{2}+\tilde{d}_{3}+d_{4}=2. \)
Exactamente lo mismo aplica para cualquier conjunto \( A_{i} \) o \( A_{ij}. \) Intenta terminar y si tienes dudas, pregunta.
Saludos,
Enrique.
