[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio y una duda. Lo escribo: "Demuestrese que \( 3m+11 \) y \( 2m+7 \) son primos entre si para todo \( m \) perteneciente a los enteros."
Solucion:
Observemos que existen dos numeros enteros \( a=2 \) y \( b=-3 \) tales que \( (3m+11)\cdot{2}+(2m+7)\cdot(-3)=1 \)
entonces \( \mbox{m.c.d.}(3m+11, 2m+7)=1 \), y por tanto son primos entre si."
¿Como se sabe que 1 es el maximo comun divisor?.

P.S.: No estoy poniendo signos de puntuacion porque llevo un tiempo con un movil nuevo.

[feriva]

Hola, tengo un ejercicio y una duda. Lo escribo: "Demuestrese que \( 3m+11 \) y \( 2m+7 \) son primos entre si para todo \( m \) perteneciente a los enteros."
Solucion:
Observemos que existen dos numeros enteros \( a=2 \) y \( b=-3 \) tales que \( (3m+11)\cdot{2}+(2m+7)\cdot(-3)=1 \)
entonces \( \mbox{m.c.d.}(3m+11, 2m+7)=1 \), y por tanto son primos entre si."
¿Como se sabe que 1 es el maximo comun divisor?.
P.S.: No estoy poniendo signos de puntuacion porque llevo un tiempo con un movil nuevo.

Multiplicando por la distributiva eso sale igual a 1 valga lo que valga "m"; y por Bezout el mcd es 1.

O dicho de forma más clara; si existiera un factor común distinto de 1 (sería el mcd) al dividir a toda la ecuación no sería un entero, sería igual a 1 partido de algo mayor que 1 en valor absoluto.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Lo sabe porque si un número \( d \) es un divisor común, entonces también es un divisor común de \( (3m+11)2 \) y de \( (2m+7)(-3) \), luego también divide a su suma, luego \( d \) divide a \( 1 \), luego \( d=\pm 1 \).

Así, pues los únicos divisores comunes de los dos números son \( \pm 1 \).

[Marcos Castillo]

Si un divisor es comun a dos numeros, ¿lo es a cualquier combinacion lineal de ambos (en el conjunto de los enteros)?.

[sugata]

Tenemos \( mcd(a,b)=m\\a =mx\\b=my \)
Una combinación lineal:
\( ca+db=cmx+dmy=m(cx+dy) \)

La respuesta es sí.

[Juan Pablo Sancho]

Diste por buena esta respuesta :

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=92564.msg374550#msg374550

Cuando use justamente la pregunta que mencionas, no sé como resolviste el otro hilo.

[Marcos Castillo]

Efectivamente, Juan Pablo, pero me ha costado entenderlo. ¡Gracias, Carlos, sugata, feriva!