[Gulgo]

Tengo la sensación de haber preguntado esto hoy a la mañana, pero busco, y no encuentro el mensaje. Estaba estudiando en el libro el principio de inclusión y exclusión, y me he topado con un problema, no entiendo esta condición:

Observemos ahora lo siguiente:

\( A_1\cap A_2=\{x: \exists n\in \mathbb{Z}^+;\,x=n^2\textsf{ y } x=n^3\}=\{x:\exists n\in \mathbb{Z};\, x=n^6\} \)

¿Por que tiene que ser \( x = n^6 \)? por lo que entendi, multiplico \( n^2\cdot n^3 \) pero, porque?

[delmar]

Hola

Por los datos del problema se tiene : \( \exists{n_1,n_2}\in{Z^+} \ / \ x=n_1^2=n_2^3 \), se puede probar que para \( x\neq{1} \), \( n_1>n_2\Rightarrow{n_1=n_2+h}, \ h\in{Z^+} \)

Luego se tiene :

\( (n_2+h)^2=n_2^3\Rightarrow{h^2+2n_2h+(n_2^2-n_2^3)=0} \)

Despejamos h y teniendo en cuenta que es positivo obtenemos :

\( h=-n_2+n_2\sqrt[ ]{n_2}=n_2(\sqrt[ ]{n_2}-1) \)

Para que \( h\in{Z^+} \) se tiene que \( \sqrt[ ]{n_2}\in{Z^+} \)

Denominando \( k=\sqrt[ ]{n_2} \), se tiene que \( k\in{Z^+} \)

Por lo tanto \( x=n_2^3=(k^2)^3=k^6, \ \ k\in{Z^+} \)

Saludos

Nota. Las fórmulas hay que escribirlas en Latex y mostrar qué has hecho por el problema, así esté incompleto e inclusive claramente errado; para así ayudarte mejor.

[Luis Fuentes]

Hola

 He corregido tu mensaje escribiendo en LaTeX la fórmula. En lo sucesivo hazlo tu.

Observemos ahora lo siguiente:

\( A_1\cap A_2=\{x: \exists n\in \mathbb{Z}^+;\,x=n^2\textsf{ y } x=n^3\}=\{x:\exists n\in \mathbb{Z};\, x=n^6\} \)

¿Por que tiene que ser \( x = n^6 \)? por lo que entendi, multiplico \( n^2\cdot n^3 \) pero, porque?

Spoiler

Observa como se escribiría en LaTeX:

[tex]A_1\cap A_2=\{x: \exists n\in \mathbb{Z}^+;\,x=n^2\textsf{ y } x=n^3\}=\{x:\exists n\in \mathbb{Z};\, x=n^6\}[/tex]

[cerrar]

 Por otra parte en realidad el conjunto \( A_1\cap A_2 \) no está bien escrito. Debería de ser (como sugiere delmar en su explicación):

\( A_1\cap A_2=\{x: \exists n_1,n_2\in \mathbb{Z}^+;\,x=n_1^2\textsf{ y } x=n_2^3\} \)

 Tal como está escrito:

\( A_1\cap A_2=\{x: \exists n\in \mathbb{Z}^+;\,x=n^2\textsf{ y } x=n^3\} \)
 
 sería simplemente los números para los cuales existe un entero \( n \) con  \( x=n^2=n^3 \) y por tanto \( n=1 \) ó \( n=0 \).

Saludos.

P.D. Otra forma de probar la igualdad que te indican es usar la descomposición en primos de \( x \).