[pepiso]

Hola, busco saber el coeficiente de \( x^2y^3z^6 \) en \( (6x+10y+15z)^{10} \) ¿cómo podría hacerlo con el teorema multinomial?

Un saludo.

[EnRlquE]

Hola pepiso.

 Se trata de una aplicación casi directa del teorema multinomial haciendo \( x_{1}=6x,\;x_{2}=y \) y \( x_{3}=15z \) (con la notación de la Wikipedia). Pero sospecho que tienes un error de tipeo. El grado del todos los términos del desarrollo de \( (6x+10y+15z)^{10} \) es diez; sin embargo el monomio \( x^{2}y^{3}z^{6} \) tiene grado once.

 Trata de hacer lo que te sugiero, y si tienes alguna duda concreta, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[KarimJerez]

Buenas noches, primero recordemos el teorema multinomial:

\( \displaystyle(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n
 =\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
  \prod_{1\le t\le m}x_{t}^{k_{t}}\,, \)

En nuestro caso, tenemos:

\( \displaystyle(6x+10y+5z)^{10}
 =\sum_{k_1+k_2+k_3=10} {10\choose k_1, k_2, k_3}
  {(6x)^{k_1}(10y)^{k_2}(5z)^{k_3}} \)

Luego ahora sólo tendrás que sustituir en la fórmula:

\( \displaystyle{10\choose 2, 3, 6}
  {(6x)^2(10y)^3(5z)^6} \)
Luego el coeficiente que buscas es:


\( \displaystyle{10\choose 2, 3, 6}
  {(6)^2(10)^3(5)^6} \)


Me acabo de dar cuenta que como dice #2, el grado es 11. Sin embargo el desarrollo es el que expongo.