[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio que no sé cómo resolver. Lo escribo:
"Sean \( a \), \( b \) y \( d \) números enteros con \( d>0 \). Pruebese que si \( d \) es un divisor común de \( a \) y de \( b \), y \( d \) se puede expresar como una combinacion lineal de \( a \) y \( b \) entonces \( d=m.c.d.(a,b) \)."
Lo único que sé es que \( d|a\Rightarrow{a=q_1d} \), \( d|b\Rightarrow{b=q_2d} \), y \( d=ax_1+by_1 \).

[feriva]

Hola, tengo un ejercicio que no sé cómo resolver. Lo escribo:
"Sean \( a \), \( b \) y \( d \) números enteros con \( d>0 \). Pruebese que si \( d \) es un divisor común de \( a \) y de \( b \), y \( d \) se puede expresar como una combinacion lineal de \( a \) y \( b \) entonces \( d=m.c.d.(a,b) \)."
Lo único que sé es que \( d|a\Rightarrow{a=q_1d} \), \( d|b\Rightarrow{b=q_2d} \), y \( d=ax_1+by_1 \).

Hola, Marcos. Tienes que demostrar la identidad de Bezout, que es eso que has escrito, sí; hace muy poco puso ese ejercicio Buscón en el foro, pero no lo encuentro; en cualquier caso por demostración de la identidad de Bezout lo encontrarás en muchos sitios.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Por un lado tienes que si:

1.) \( m|a  \) y \(  m|b  \) entonces para todo \(  s,t \in \mathbb{Z}  \) se tiene \(  m|a \cdot s + b \cdot t  \)

2.) Si \(  m|t  \) y \( t|m  \) entonces \( |t| = |m|  \) si los dos son positivos entonces \(  t = m  \)

Si \( d  \) se puede expresar como una combinación lineal de \( a  \) y \( b \) entonces existen \( s,t  \) con :

\(  d = a \cdot s + b \cdot t  \) como \(  mcd(a,b)|a  \) y \(  mcd(a,b)|b  \) usa 1.)

Como \( d|a  \) y \( d|b  \) tienes \( d|mcd(a,b)  \) ahora usa 2.)

[Marcos Castillo]

He intentado encontrar el teorema de Bezout en internet.Algunos lo daban por demostrado, otrlos lo explicaban escasamente .¿Podeis remitirme a alguna página , o bibliografía?

[feriva]

He intentado encontrar el teorema de Bezout en internet.Algunos lo daban por demostrado, otrlos lo explicaban escasamente .¿Podeis remitirme a alguna página , o bibliografía?

Hola, Marcos. Te pongo el vídeo que le puse a Buscón

Tiene un detalle sutil que no es fácil de entender de primeras, si eso pregunta.

Saludos.

[feriva]

Éste es el hilo que te decía

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=92222.msg373065#msg373065

[Juan Pablo Sancho]

Lo que propone la identidad de Bezout es que si \(  d = mcd(a,b)  \) entonces existen \(  s,t \in \mathbb{Z}  \) con \(  d = a \cdot s + b \cdot t  \).

Este ejercicio va por el camino de ser el recíproco del teorema y pone las hipótesis que faltan.

Sea \(  d> 0  \) y \( a,b \in \mathbb{Z}  \) y \(  d  \) se puede poner como \(  d = a \cdot s + b \cdot t  \) para ciertos \( s,t  \) de \( \mathbb{Z}  \)  verificando que \( d|a  \) y \(   d|b \) entonces \( d = mcd(a,b)  \)

[feriva]

Lo que propone la identidad de Bezout es que si \(  d = mcd(a,b)  \) entonces existen \(  s,t \in \mathbb{Z}  \) con \(  d = a \cdot s + b \cdot t  \).

Este ejercicio va por el camino de ser el recíproco del teorema y pone las hipótesis que faltan.

Sea \(  d> 0  \) y \( a,b \in \mathbb{Z}  \) y \(  d  \) se puede poner como \(  d = a \cdot s + b \cdot t  \) para ciertos \( s,t  \) de \( \mathbb{Z}  \)  verificando que \( d|a  \) y \(   d|b \) entonces \( d = mcd(a,b)  \)

Es verdad, no lo había leído bien, como siempre; es mucho más sencillo.

No necesitas probar la identidad, la puedes usar, Marcos, la clave está en que se da por hecho que es un caso donde se puede expresar como combinación lineal, se da como condición; y eso no lo leí bien anoche.

Spoiler

Se da por hecho que existe

\( da+db=d
  \)

Como piden demostrar que “d” es el mcd, tenemos que suponer, para poder demostrarlo, que no es el mcd; entonces existiría otro factor común más que estaría “separado” de “d”; lo que se viene a decir es lo mismo que asumir que “a” y “b” no sean coprimos:

\( a=xm
  \) e \( b=ym
  \) donde podemos suponer sin pérdida de generalidad que y,x; m,d son coprimos (el único factor común que tienen a y b, aparte de “d”, es “m”).

Esto también es lo mismo que decir que el mcd es entonces \( m\cdot d
  \).

Pero si hacemos eso ocurre que

\( xmd+ymd=d
  \)

y dividiendo la igualdad entre “d”

\( xm+ym=1\Rightarrow m|1\Rightarrow m=1
  \) con lo que md=d
  y “d”, sin remedio, es el mcd.

Con un ejemplo:

2 es divisor común de 30 y 50, pero no es el mcd, es un divisor más pequeño; si escribimos

\( a=-15 \) y \( b=25 \), pues multiplicando por el factor común “d=2” tenemos -30 y 50, pero como no es el mcd podemos hacer \( a=-3\cdot 5 \) y \( b=5\cdot 5 \), donde análogamente a lo que he hecho, en general, con las letras, tendría, por ejemplo \( x=-3;\,\, y=5;\,\, m=5
  \); y el mcd es \( dm=2\cdot5=10
  \).

Ahora, si yo escribiera esto

\( 2\cdot(-15)+2\cdot25=2
  \)

sería mentira, es imposible; porque no es el m.c.d y sería mentira, es imposible; porque no es el m.c.d y entonces hay un factor común distinto de 1 que divide a 1 y no queda un entero; se divide por 2 y se ve que quedaría 1/5

\( (-15)+25=1
  \)...

(éste es el argumento principal para la demostración)

Pero con el mcd sí es verdad

\( 2\cdot(-15)+2\cdot25=2\cdot10
  \)

Al dividr entre 2 nos queda la igualdad

\( -15+25=10
  \)

[cerrar]

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Entendido! . Muchas gracias, feriva. Para el caso en que \( a \) y \( b \) no sean coprimos, la demostración es trivial, ¿no?.

[feriva]

¡Entendido! . Muchas gracias, feriva. Para el caso en que \( a \) y \( b \) no sean coprimos, la demostración es trivial, ¿no?.

Sí, en cualquier caso, porque divides toda la ecuación y se quedan en coprimos siempre.

Saludos.