Hola
\( (3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2 \)
Valores de \( r^2 \):0,1,4
\( 0=3\cdot{0}+0 \)
\( 1=3\cdot{0}+1 \)
\( 4=3\cdot{1}+1 \)
¿Por qué los valores del resto determinan la forma de los cuadrados de los enteros?
Amplio lo que has escrito.
1) Todo número entero puede escribirse como \( n=3q+r \) con \( q \) entero y \( 0\leq r<3 \).
2) Entonces:
\( n^2=(3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2 \) con \( 0\leq r<3 \)
3.1) Si \( r=0 \) entonces: \( n^2=3(3q^2+2qr)+r^2=3\underbrace{(3q^2+2qr)}_k \)
3.2) Si \( r=1 \) entonces: \( n^2=(3(3q^2+2qr)+r^2=3(3q^2+2qr)+1=3\underbrace{(3q^2+2qr)}_k+1 \)
3.3) Si \( r=2 \) entonces: \( n^2=(3(3q^2+2qr)+r^2=3(3q^2+2qr)+4=3(3q^2+2qr)+3+1=3\underbrace{(3q^2+2qr+1)}_k+1 \)
Cuando aprendas a trabajar con artimética modular como Dios manda podrás razonar más rápidamente. La idea es sencilla:
Es lo mismo primero sumar (respect. multiplicar) dos números y luego hallar el resto de esa suma al dividir por \( n \), que primero hallar los restos , sumarlos (respect. multiplicarlos) y quedarnos con el resto de dividir por \( n \).
Entonces aplicado a nuestro caso es lo mismo hallar el resto de \( n^2=n\cdot n \) de dividir por tres que primero hallar el resto de \( n \) de dividir por \( 3 \) y luego elevarlo al cuadrado y hallar el resto.
El resto de dividir \( n \) por tres es \( 0,1 \) ó \( 2 \). Elevado al cuadrado \( 0,1,4 \) y los respectivos restos de dividir por tres: \( 0,1,1 \).
Saludos.
