[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio que he resuelto pero no sé si bien. Lo escribo :
"Para cada \( a \) y \( b \) perteneciente a \( Z \), pruebese la desigualdad \( ||a|-|b||\leq{|a-b|} \)."
Le he dado unas vueltas, pero nada para escribir. Un saludo!

[delmar]

Hola Marcos Castillo

Ahí va una demostración :

\( \left |{\left |{a}\right |-\left |{b}\right |}\right |\leq{\left |{a-b}\right |}\Leftrightarrow{-\left |{a-b}\right |\leq{\left |{a}\right |-\left |{b}\right |}\leq{\left |{a-b}\right |}}\Leftrightarrow{\left |{b}\right |-\left |{a-b}\right |\leq{\left |{a}\right |}\leq{\left |{b}\right |+\left |{a-b}\right |}} \)

Demostrando la desigualdad de la derecha

\( \left |{a}\right |=\left |{a+b-b}\right |=\left |{b+(a-b)}\right | \)


Aplicando la desigualdad triangular, se tiene :

\( \left |{a}\right |\leq{\left |{b}\right |+\left |{a-b}\right |} \)

Demostrando la desigualdad de la izquierda

\( \left |{b}\right |-\left |{a-b}\right |\leq{\left |{a}\right |}\Leftrightarrow{\left |{b}\right |\leq{\left |{a}\right |+\left |{a-b}\right |}} \)

\( \left |{b}\right |=\left |{b+a-a}\right |=\left |{a+(b-a)}\right | \)

Aplicando la desigualdad triangular, se tiene :

\( \left |{b}\right |\leq{\left |{a}\right |+\left |{b-a}\right |} \)

Pero \( \left |{b-a}\right |=\left |{a-b}\right | \), luego se tiene :

\( \left |{b}\right |\leq{\left |{a}\right |+\left |{a-b}\right |}\Rightarrow{\left |{b}\right |-\left |{a-b}\right |\leq{\left |{a}\right |}} \)

Demostradas las dos desigualdades esta demostrado el teorema

Saludos

[Marcos Castillo]

Tengo que echarle un vistazo. Perdón por el contradictorio primer mensaje: estoy en el trabajo y sólo cuento con un móvil antediluviano.

[Marcos Castillo]

Hola delmar, comprendido. ¡Muchas gracias!. También desconocía la desigualdad triangular. ¡Un saludo!