[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio resuelto, pero tengo dudas. Lo escribo:

"Demuéstrese que si \( \mbox{m.c.d.}(a,b)=1 \), entonces \( \mbox{m.c.d.}(a+b,a-b)=1 \)."

Solución

Sea \( d=\mbox{m.c.d.}(a+b,a-b) \). Por lo tanto \( d|(a+b) \) y \( d|(a-b) \), entonces \( d \) es divisor de \( (a+b)+(a-b)=2a \) y es divisor de \( (a+b)-(a-b)=2b \). Así pues \( d \) divide a \( \mbox{m.c.d.}(2a,2b)=2\mbox{m.c.d.}(a,b)=2 \). Como \( d|2 \) se tiene que \( d=1 \) ó \( d=2 \)

Duda

\( d \) es divisor de \( (a+b)+(a-b)=2a \) y \( (a+b)-(a-b)=2b \): ¿esto es así porque la resta o suma de múltiplos de \( d \) será también múltiplo de \( d \)?

¡Un saludo!

[sugata]

Si \( d \) es divisor de \( a \) y \( b \)
Podemos escribir:

\( a=d\cdot{}x\\b=d\cdot{y} \)

Luego

\( a+b=d\cdot{}x+d\cdot{y}=d(x+y) \)

Y lo mismo se puede con la resta.

[feriva]

¿esto es así porque la resta o suma de múltiplos de \( d \) será también múltiplo de \( d \)?

Hola, Marcos. Sí, como ya ha hecho ver Sugata.

Dicho de una forma prosaica que yo uso: si se suman o restan dos números de la la misma tabla de multiplicar (del 3, del 4...) da un número de esa tabla de multiplicar.

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias!