Hola, tengo otra duda con el concepto de operador módulo. Lo defino primero:
Definición:
Sean \( a \) y \( b \) números enteros con \( b\neq{0} \). Sea \( a=bq+r \) donde \( 0\leq{r<|b|} \). Definimos el operador módulo "\( \mbox{MOD} \)" por \( a\mbox{MOD}b=r \)
Una propiedad del operador \( \mbox{MOD} \):
Sean \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) y \( m \) números enteros con \( m\neq{0} \). Si \( a\mbox{MOD}m=c\mbox{MOD}m \) y \( b\mbox{MOD}m=d\mbox{MOD}m \)
entonces
\( (a+b)\mbox{MOD}m=(c+d)\mbox{MOD}m \)
Demostración
De la hipótesis deducimos que
\( a=mq_1+r \), \( b=mq_3+r' \),
\( c=mq_2+r \), \( d=mq_4+r' \).
Se tiene que
\( a+b=m(q_1+q_3)+(r+r') \)
\( c+d=m(q_2+q_4)+(r+r') \)
por tanto si \( (r+r')<|m| \) se tiene que \( (a+b)\mbox{MOD}m=(c+d)\mbox{MOD}m \). Si \( (r+r')\geq{|m|} \), entonces, por el algoritmo de la división, \( (r+r')=mq*+r* \), con \( r*<|m| \), luego
\( a+b=m(q_1+q_3+q*)+r* \)
\( c+d=m(q_2+q_4+q*)+r* \)
Así se tiene que \( (a+b)\mbox{MOD}m=(c+d)\mbox{MOD}m \).
¿Por qué si \( (r+r')<|m| \), \( (a+b)\mbox{MOD}m=(c+d)\mbox{MOD}m \)?. ¡Un saludo!
