[KarimJerez]

Buenas noches,
Me gustaría poder entender en particular, como demostrar el teorema del binomio por el argumento combinatorio y en general, como demostrar una propiedad usando el argumento combinatorio.
Adjunto el teorema del binomio:
\( (a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{\binom {n} {i}a^ib^{n-i}} \)
Muchas gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Bienvenido al foro.

Buenas noches,
Me gustaría poder entender en particular, como demostrar el teorema del binomio por el argumento combinatorio y en general, como demostrar una propiedad usando el argumento combinatorio.
Adjunto el teorema del binomio:
\( (a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n{\binom {n} {i}a^ib^{n-i}} \)
Muchas gracias de antemano.

\( (a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\ldots (a+b)}_{n\textsf{ veces}} \)

Cuando uno desarrolla ese producto din agrupar términos aparecen \( 2^n \) sumandos \( n \) de factores, cada uno de los cuales es \( a \) ó \( b \).

Para agrupar y saber cuantos de ellos corresponde al monomio \( a^kb^{n-k} \), es decir, en cuantos se han escogido \( k \) aes y \( n-k \) bes hay que contar la distintas formas de escoger \( k \) binomios de los \( n \) que multiplicamos de los cuales usaremos la a (en el resto usaremos la b). Son las combinaciones sin repetición de \( n \) elementos tomados de \( k \) en \( k \): \( \displaystyle\binom{n}{k} \).

Saludos.

[KarimJerez]

Buenos días, antes que nada quiero agradecer tu respuesta me ha servido de mucho. Pero tengo una duda, ¿Por qué \( 2^n \) sumandos no serían \( 2\cdot{n} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, antes que nada quiero agradecer tu respuesta me ha servido de mucho. Pero tengo una duda, ¿Por qué \( 2^n \) sumandos no serían \( 2\cdot{n} \)?

Por cada multiplicando tenemos dos opciones, elegir \( a \) ó \( b  \)es decir el número de opciones es:

\( \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{n\textsf{ veces}}=2^n \)

Por ejemplo para \( n=3: \)

\(
(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb \)

Saludos.