[Marcos Castillo]

Hola, tengo una demostración que no entiendo muy bien. La escribo primero:
"Demostrar a partir del algoritmo de la división que el cuadrado de todo número impar se puede escribir en la forma \( 8k+1  \)"
Por el algoritmo de la división sabemos que para todo número entero \( a \) se tiene
\( a=4q+r \), donde \( 0\leq{r}<4 \)
Así pues \( r \) sólo puede tomar los valores 0,1,2 y 3. Por lo tanto todo número \( a \) es de la forma,
\( 4q,\;4q+1,\;4q+2\;ó\;4q+3 \),

Los números \( 4q=2\cdot{2}q \) y \( 4q+2=2(2q+1) \) son pares, por lo que debemos considerar los números de la forma \( 4q+1 \) y \( 4q+3 \).
Elevándolos al cuadrado tenemos
\( (4q+1)^2=16q^2+8q+1=8(2q^2
+1)+1=8k+1 \),
\( (4q+3)^2=16q^2+24q+9=8(2q^2+3q+1)+1=8k+1 \)
La duda es: ¿por qué llama \( k \) a dos expresiones diferentes?. Un saludo!.

[Carlos Ivorra]

Está considerando dos casos paralelos. En el caso de que el número de partida sea de la forma \( 4q+1 \) se cumple que su cuadrado es de la forma \( 8k+1 \) con \( k=2q^2+1 \), y en el caso en que el número de partida sea de la forma \( 4q+3 \) su cuadrado es de la forma \( 8k+1 \), esta vez con \( k=2q^2+3q+1 \).

Según lo mires, no son dos cosas diferentes. Si llamas \( n \) al número de partida, en ambos casos \( k=(n^2-1)/8 \), sólo que este valor \( k \) viene dado por expresiones diferentes según cuál sea el resto de la división de \( n \) entre \( 4 \).

[Marcos Castillo]

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Según lo mires, no son dos cosas diferentes. Si llamas \( n \) al número de partida, en ambos casos \( k=(n^2-1)/8 \), sólo que este valor \( k \) viene dado por expresiones diferentes según cuál sea el resto de la división de \( n \) entre \( 4 \).

¿Por qué viene dado por expresiones distintas?

[Carlos Ivorra]

No sé si entiendo tu pregunta. En el caso en que \( n=2q+1 \) viene dado por la expresión \( k=2q^2+1 \) y en el caso en que \( n=2q+3 \) viene dado por la expresión \( k= 2q^2+3q+1 \), pero no sé si te refieres a esto o si preguntas por qué sucede esto. El por qué se ve en la prueba que tú mismo has dado.

[feriva]

¿Por qué viene dado por expresiones distintas?

Hola, Marcos. Pues, en mi opinión (por si te fuera útil) sencillamente porque “k” es una variable, no una constante. Para los naturales toma los valores “1,2,3...”; para \( k=1 \), \( 8k+1=9 \), para \( k=2 \), \( 8k+1=17... \) (ah, porque también existen números de esa forma que no son cuadrados perfectos, pueden ser primos, como el 17, aunque para los que son así no pidan demostrar nada aquí).

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, Carlos, feriva

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Según lo mires, no son dos cosas diferentes. Si llamas \( n \) al número de partida, en ambos casos \( k=(n^2-1)/8 \), sólo que este valor \( k \) viene dado por expresiones diferentes según cuál sea el resto de la división de \( n \) entre \( 4 \).

¿Por qué viene dado por expresiones distintas?

Quería preguntar (ya lo he entendido) qué debía en este ejercicio entender por "expresiones distintas". Depende del resultado de cada división.

¿Por qué viene dado por expresiones distintas?

Hola, Marcos. Pues, en mi opinión (por si te fuera útil) sencillamente porque “k” es una variable, no una constante. Para los naturales toma los valores “1,2,3...”; para \( k=1 \), \( 8k+1=9 \), para \( k=2 \), \( 8k+1=17... \) (ah, porque también existen números de esa forma que no son cuadrados perfectos, pueden ser primos, como el 17, aunque para los que son así no pidan demostrar nada aquí).

Saludos.

Sí que ha sido útil tu opinión. \( k \) es una variable.

¡Un saludo y gracias, Carlos y feriva¡