[arthel]

Buenas,

Tengo este ejercicio de clase de métodos numéricos y la verdad no tenemos ninguno parecido resuelto en clase y me gustaría saber hacerlo.

Sea el Problema de Valor Inicial (PVI)

(PVI): \( \begin{cases} y'=\dfrac{1+t}{1+y}, & t>1\\y(1)=2 &\end{cases} \)

que tiene por solución exacta la función \( y(t)=\sqrt{t^2+2t+6}-1. \)

Tomando una tamaño de discretización \( h=0.5 \) se pide:

• (a) Utilizar el método de Crank-Nicholson para obtener una aproximación de la solución en \( t=1.5 \), realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del alogritmo. Calcular el error cometido.
• (b)  Utilizar el esquema Runge-Kutta dado por la tabla:
  
  \( \qquad \qquad \begin{matrix}{\begin{matrix}0\cr0\end{matrix}\, \boxed{\begin{matrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\\\end{matrix}}}\\{\begin{matrix}{\,\,\,0.5\,\, 0.5}\\\end{matrix}}\end{matrix}
   \)
  
  realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del algoritmo, para obtener un valor aproximado de la solución en t=1.5. Calcular el error cometido.

Conozco el Método de Newton, pero no sé como aplicarlo para resolver este problema de PVI con el esquema de Runge-Kutta.

Sé resolver el ejercicio, como nos han enseñado en clase, pero sin utilizar el Método de Newton.

Sería el apartado b)

Si alguien me dijera aunque sea las directrices para resolverlo le estaría muy agradecido.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de poner el enunciado de tu problema como un archivo adjunto de imagen; por el contrario deberías de haberlo tecleado explícitamente. Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

Sea el Problema de Valor Inicial (PVI)

(PVI): \( \begin{cases} y'=\dfrac{1+t}{1+y}, & t>1\\y(1)=2 &\end{cases} \)

que tiene por solución exacta la función \( y(t)=\sqrt{t^2+2t+6}-1. \)

Tomando una tamaño de discretización \( h=0.5 \) se pide:

• (a) Utilizar el método de Crank-Nicholson para obtener una aproximación de la solución en \( t=1.5 \), realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del alogritmo. Calcular el error cometido.
• (b)  Utilizar el esquema Runge-Kutta dado por la tabla:
  
  \( \qquad \qquad \begin{matrix}{\begin{matrix}0\cr0\end{matrix}\, \boxed{\begin{matrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\\\end{matrix}}}\\{\begin{matrix}{\,\,\,0.5\,\, 0.5}\\\end{matrix}}\end{matrix}
   \)
  
  realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del algoritmo, para obtener un valor aproximado de la solución en t=1.5. Calcular el error cometido.

Conozco el Método de Newton, pero no sé como aplicarlo para resolver este problema de PVI con el esquema de Runge-Kutta.

Sé resolver el ejercicio, como nos han enseñado en clase, pero sin utilizar el Método de Newton.

Sería el apartado b)

Si alguien me dijera aunque sea las directrices para resolverlo le estaría muy agradecido.

No sé demasiado sobre métodos numéricos. ¿El apartado (a) has podido hacerlo?. Supongo que la idea es usar de manera auxiliar el método de Newton para resolver algún sistema no lineal que aparezca en medio del método; lo que ocurre es que por lo que he leído el esquema de Runge-Kutta que se propone es explícito entonces entiendo que no haría falta resolver ninguna ecuación en su desarrollo.

Saludos.

[arthel]

Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de poner el enunciado de tu problema como un archivo adjunto de imagen; por el contrario deberías de haberlo tecleado explícitamente. Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

Sea el Problema de Valor Inicial (PVI)

(PVI): \( \begin{cases} y'=\dfrac{1+t}{1+y}, & t>1\\y(1)=2 &\end{cases} \)

que tiene por solución exacta la función \( y(t)=\sqrt{t^2+2t+6}-1. \)

Tomando una tamaño de discretización \( h=0.5 \) se pide:

• (a) Utilizar el método de Crank-Nicholson para obtener una aproximación de la solución en \( t=1.5 \), realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del alogritmo. Calcular el error cometido.
• (b)  Utilizar el esquema Runge-Kutta dado por la tabla:
  
  \( \qquad \qquad \begin{matrix}{\begin{matrix}0\cr0\end{matrix}\, \boxed{\begin{matrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\\\end{matrix}}}\\{\begin{matrix}{\,\,\,0.5\,\, 0.5}\\\end{matrix}}\end{matrix}
   \)
  
  realizando 2 iteraciones del método de Newton en cada etapa del algoritmo, para obtener un valor aproximado de la solución en t=1.5. Calcular el error cometido.

Conozco el Método de Newton, pero no sé como aplicarlo para resolver este problema de PVI con el esquema de Runge-Kutta.

Sé resolver el ejercicio, como nos han enseñado en clase, pero sin utilizar el Método de Newton.

Sería el apartado b)

Si alguien me dijera aunque sea las directrices para resolverlo le estaría muy agradecido.

No sé demasiado sobre métodos numéricos. ¿El apartado (a) has podido hacerlo?. Supongo que la idea es usar de manera auxiliar el método de Newton para resolver algún sistema no lineal que aparezca en medio del método; lo que ocurre es que por lo que he leído el esquema de Runge-Kutta que se propone es explícito entonces entiendo que no haría falta resolver ninguna ecuación en su desarrollo.

Saludos.

Gracias por la correción y disculpa por mi error.

El apartado a) si que se resolverlo, es tal como dices. El problema viene en el apartado b) que, aunque hemos dado en clase como resolver un esquema de Runge-Kutta, al pedirlo expresamente resolverlo utilizando el método de newton en las "etapas del algoritmo" pues no lo entiendo, ya que como dices no se crean "incognitas" a resolver por el método de Newton...pero al pedirlo, de ahí mi duda y mi comedura de cabeza.

[Luis Fuentes]

Hola

El apartado a) si que se resolverlo, es tal como dices. El problema viene en el apartado b) que, aunque hemos dado en clase como resolver un esquema de Runge-Kutta, al pedirlo expresamente resolverlo utilizando el método de newton en las "etapas del algoritmo" pues no lo entiendo, ya que como dices no se crean "incognitas" a resolver por el método de Newton...pero al pedirlo, de ahí mi duda y mi comedura de cabeza.

Pues no sé. ¿No será una errata en el enunciado? Quizá se copió muy a la ligera el enunciado del apartado (a) modificando el método...

Saludos.