Hola
No es cierto el desarrollo que has hecho. Lo que te dan es la corona, eso significa que
R y
r, son conocidos, incógnita es
X.
robinlambada al señalar el triángulo, prácticamente ha resuelto el problema. Por pitágoras se tiene :
\( R^2=r^2+(\displaystyle\frac{X}{2})^2\Rightarrow{\pi}(R^2-r^2)=\pi \ (\displaystyle\frac{X}{2})^2 \)
El lado izquierdo de la ecuación es
el área de la corona circular y el lado derecho es
el área de un círculo, cuyo diámetro es la cuerda del círculo mayor, tangente al círculo menor. Date cuenta que
X es el diámetro, evidentemente, es también la cuerda del círculo mayor, tangente al círculo menor. Aún cuando no es necesario, si deseas precisar su valor es : \( X=2\sqrt[ ]{R^2-r^2} \)
Respecto al problema 2, adjunto un esquema, observa que si se demuestra :
a) \( \alpha=\beta \), el triángulo \( \Delta \ BPC \) será isóceles y esto implica : \( \overline{BP}=\overline{CP} \).
b) \( \alpha+1=\theta \) entonces el triángulo \( \Delta \ BPI \), será isóceles y esto implica : \( \overline{BP}=\overline{IP}\Rightarrow{\overline{CP}=\overline{BP}=\overline{IP}} \), Lqqd
Para esto hay que utilizar los teoremas relativos a los ángulos de una circunferencia.
Parte a)
Por ser ángulos inscritos \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ \beta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2} \)
\( \overline{AP} \) es bisectriz de \( A \), luego \( 5=6 \); pero ambos son ángulos inscritos, luego
\( 5=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ 6=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}, \ \ 5=6\Rightarrow{\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}}=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2} \ \ Ec. \ 1 \ \Rightarrow{\alpha}=\beta \)
Por lo tanto por lo dicho en el apartado a), se tiene : \( \overline{BP}=\overline{CP} \).
Parte b)
\( \alpha \) y \( 1 \) son ángulos inscritos, luego \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ 1=\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}\Rightarrow{\alpha}+1=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}+\displaystyle\frac{arc(SC)}{2} \) Ec. 2
\( \theta \) es un ángulo interior, luego \( \theta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}+\displaystyle\frac{arc(AS)}{2} \ \ Ec. \ 3 \)
\( \overline{BS} \) es bisectriz del ángulo \( B \) luego \( 1=2 \); pero por ser ambos inscritos se tiene :
\( 1=\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}, \ \ 2=\displaystyle\frac{arc(AS)}{2}, \ \ 1=2\Rightarrow{\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}}=\displaystyle\frac{arc(AS)}{2} \ Ec. \ 4 \)
Luego utilizando la Ec. 4 y la Ec. 1 dentro de la Ec. 3 se tiene :
\( \theta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}+\displaystyle\frac{arc(AS)}{2}=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}+\displaystyle\frac{arc(SC)}{2} \)
Y finalmente utilizando la ecuación 2, se llega :
\( \alpha+1=\theta \)
, en consecuencia por lo dicho en el apartado b) :
\( \overline{IP}=\overline{BP}=\overline{CP} \)
Lqqd
Saludos
