Hola dario_oasis
Hay que averiguar si se verifica, considerando la definición de derivada.
\( f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to{}0}{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \)
\( g'(x)=\displaystyle\lim_{h\to{}0}{\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \)
La existencia de estos límites implica que existe el límite de la suma :
\( \exists{\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}=f'(x)+g'(x) \)
Desarrollando :
\( \exists{\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}}}=f'(x)+g'(x) \)
Por definicion de suma de funciones se tiene :
\( \exists{\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{(f+g)_{(x+h)}-(f+g)_{(x)}}{h}}}=f'(x)+g'(x) \)
Por definición de derivada de función :
\( \exists{\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{(f+g)_{(x+h)}-(f+g)_{(x)}}{h}}}=(f+g)'_{(x)}=f'(x)+g'(x) \)
Saludos
