Como siempre tenemos un enunciado mal escrito para variar.
¿Cuales son las posibles letras?
a).- Solo mayúsculas ó pueden entrar también las minúsculas.
Nota.- La Ñ, la W y la Ç. Las tres aparecen en un teclado español, eso nos conduciría a 28 letras posibles, aunque consideraré 26 letras mayúsulas, es lo que parece que dices en el enunciado.
Bien, consideremos el conjunto de letras incluidos en la clave {A, RS, x}. x representa la cuarta letra para la que se admiten 26 valores posibles ya que puede estar repetida.
1º Admitiendo que es la letra la que está repetida podemos decir entonces que x solo presenta tres valores posibles, luego solo existen tres "conjuntos" posibles para las letras:
{A, RS, A} {A, RS, R} {A, RS, S}
Nota: No son conjuntos propiamente dichos ya que el primero tiene un elemento repetido, lo que no sería admisible para conjuntos.
En este caso los dígitos no pueden estar repetidos luego existen \( {\bold{7}\choose \bold{4}} \) posibles conjuntos de números incluidos en la clave {a, b, c, d}, que serían las combinaciones de 7 elementos tomados de 4 en 4.
Haciendo ahora todas las posibles uniones de uno de los primeros y otro de los segundos veríamos cada uno de los conjuntos de caracteres posibles para formar la clave. Las permutaciones de cada uno de esos conjuntos serían una posible solución, ahora bién existe un detalle tático que no debemos pasar de largo, uno de los conjuntos de caracteres tiene un elemento repetido y las permutaciones cuando ese conjunto interviene en la solución se deben calcular en forma distinta que en los otros dos casos.
2º Admitiendo ahora que es el dígito el que se repite tendremos que los posibles conjuntos de caracteres son 23, ya que el último caracter solo puede adoptar 23 valores al no poder repetirse.
En este caso los conjuntos posibles para dígitos son, teniendo en cuenta que uno debe repetirse, \( 3{\bold{7}\choose \bold{3}} \) ya que para cada combinación de los 7 dígitos tomados de 3 en 3 se generará 3 combinaciones que seran las obtenidas al repetir uno de estos dígitos.
En este caso el detalle tático comentado no se produce para las letras, pero sí se produce para los números y en todos los casos, hecho que debemos tener en cuenta a la hora de calcular las permutaciones posibles.
Una vez analizados todos los casos posibles basta solo realizar cada una de las uniónes de un conjunto de letras con un conjunto de números y calcualr las permutaciones que pueden realizarse con sus elementos, teniendo en cuenta claro los casos en que alguno de los caracteres aparecerá repetido.
Teniendo en cuenta que:
\( {\bold{7}\choose \bold{4}}=35 \) \( 23\cdot 3\cdot {\bold{7}\choose \bold{3}}=2415 \)
tenemos:
Para el primer caso:
35 conjuntos del tipo {A, RS, A, a, b, c, d} que generan P permutaciones distintas cada uno.
35 conjuntos del tipo {A, RS, R, a, b, c, d} que generan 7! permutaciones distintas cada uno.
35 conjuntos del tipo {A, RS, S, a, b, c, d} que generan 7! permutaciones distintas cada uno.
Para el segundo caso:
2415 conjuntos del tipo {A, RS, x, a, a, b, c} que generan P permutaciones distintas cada uno.
Basta calcular ahora las permutaciones distintas en cada caso y sumarlas todas para obtener el resultado buscado.
En el primero y último tipo la fórmula a aplicar para el cálculo de las permutaciones, P, será idéntica ya que deben calcularse las permutaciones posibles con 7 elementos, sabiendo que uno de ellos es repetido. En los otros dos casos son las permutaciones de 7 elementos distintos sin más, 7!.
La solución vendría dada por la expresión:
(35 + 2415)P + 2·35·7! = 2450·P + 352800
Disculparme si no acabo la cosa, no tengo tiempo. Solo me queda calcular P. Si el valor de P resultara ser 2556 tu solución sería la correcta, pero la solución que dices os dieron del parcial nunca podría ser la correcta puesto que, de acuerdo a mi cálculo, debería ser:
P = (6626800 - 352800)/2450 = 2560,8...
y es imposible que P tome un valor fraccionario.
¡Ojo! que yo también puedo equivocarme.
Saludos, Jabato.
