[dario_oasis]

Hola disculpen me podrían ayudar ¿con esta integral? ¿Que no se como encararla?:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}sen4x\cos5xdx \)

[sugata]

Hola.

Integra por partes y te saldrá otra integral. Integra ésa también por partes y obtendrás la integral original. Entonces tendrás una expresión así.

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=expresión +k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

Donde pongo expresión es todo lo que, durante las dos integrales, no está dentro de una integral.
La k es un número que multiplicará a la última integral.
Luego la integral de la derecha la pasas a la izquierda y...
¿Sigues tú?

Aunque entiendo que la integral que te piden no está definida de "a" a "b"

[dario_oasis]

Saco el 4 y el 5 adelante de la integral y ahí ¿ya puedo usar integral por partes?

[sugata]

No puedes sacar el 4 y el 5, forman parte de las razones trigonométricas que tienes.

Usa:

\( u=sen4x\\dv=cos5xdx \)

[dario_oasis]

la derivada de u se que es:

\( du=cos4x.4 \)
pero no se como hacer la integral de \( cos5xdx \)

[sugata]

Es una integral directa.

\( \displaystyle\frac{1}{5}sen5x \)

[dario_oasis]

¿Porque el 1/5? paso adelante después se que la integral del coseno es el seno pero el 1/5 no se porque

[sugata]

Por qué cuando derivas, tienes que derivar el 5x.

\( \left(\displaystyle\frac{1}{5}cos5xdx\right)'=\displaystyle\frac{1}{5}5sen5x \)

Al integrar cuando la x está elevada a 1, dividimos por el número para que luego desaparezca.

[delmar]

Date cuenta :

\( sen(9x)=sen(4x)cos (5x)+cos (4x)sen(5x)\Rightarrow{\displaystyle\int_{a}^{b}sen(9x) \ dx}=\displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)cos (5x) \ dx+\displaystyle\int_{a}^{b}cos (4x)sen(5x) \ dx \ \ Ec. \ 1 \)

El último integral lo integras por partes :

\( u=cos (4x)\Rightarrow{u'}=-4 sen(4x), \ \ v'=sen (5x)\Rightarrow{v=\displaystyle\int_{}^{}}sen(5x) dx\Rightarrow{v}=\displaystyle\frac{-1}{5}cos (5x) \  \)

Luego :

\( \displaystyle\int_{a}^{b}cos (4x)sen(5x) \ dx=uv|_a^b-\displaystyle\int_{a}^{b}u'v \)

\( \displaystyle\int_{a}^{b}u'v=\displaystyle\frac{4}{5}\displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)\ cos (5x) \ dx  \)

sustituyendo en la Ec. 1 se tiene :

\( \displaystyle\int_{a}^{b}sen(9x) \ dx=\displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)cos (5x) \ dx+uv|_a^b-\displaystyle\frac{4}{5}\displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)\ cos (5x) \ dx
 \)

Luego :

\( \displaystyle\frac{1}{5}\displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)\ cos (5x) \ dx=\displaystyle\int_{a}^{b}sen(9x) \ dx-uv|_a^b \)

Por lo tanto :

\( \displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)\ cos (5x) \ dx=5\displaystyle\int_{a}^{b}sen(9x) \ dx-5(\displaystyle\frac{-1}{5}) \ cos (4x) \ cos(5x)|_a^b \)

Ahí, prácticamente ya esta el integral, trata de llegar al la respuesta :

Spoiler

\( \displaystyle\int_{a}^{b}sen(4x)\ cos (5x) \ dx=\displaystyle\frac{-5}{9}(cos (9b)- cos (9a))+cos (4b) cos (5b)- cos (4a) cos (5a) \)

[cerrar]

Saludos

[Fernando Revilla]

\( \displaystyle\int_{a}^{b}sen4x\cos5xdx \)

Como alternativa a la integración por partes, las integrales de los tipos 

          \( \displaystyle\int \operatorname{sen}px\cos qx\;dx,\;\int \operatorname{sen}px\operatorname{sen}qx\;dx,\;\int \cos px\cos qx\;dx,\quad (p.q\in \mathbb{R})  \),

se transforman en suma de dos inmediatas usando respectivamente las fórmulas de trigonometría:

          \( \begin{aligned}& \operatorname{sen}px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right].\\
&\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right].\\
&\cos px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos (p-q)x+\cos (p+q)x\right].
\end{aligned} \)

Para más detalles puedes ver Integración de funciones trigonométricas (3).