[cristhiam]

Hola, estoy estudiando superficies cónicas, me han dado las siguientes claves para reconocer a que tipo de cónica corresponde una ecuación dada, las claves son estas:

Una cónica es una CIRCUNFERENCIA, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son iguales.
Una cónica es un ELIPSE, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son desiguales.
Una cónica es una HIPÉRBOLA, si uno de los términos cuadráticos es negativo.
Una cónica es una PARÁBOLA, si un único termino es cuadrático.

Me piden determinar el tipo de cónica a la que pertenece cada ecuación:

a) \( x^2 -4xy +2y^2=0 \)

b) \( y^2 -9x=0 \)

c) \( 16x^2 -25y^2 -400=0 \)

d) \( -3x^2 -3y^2 +18x +18y -27=0 \)

Deduzco que el inciso a) corresponde a una elipse, el b) es una parábola, el c) es una hipérbola, en la d) es mi duda pues no obedece a ningún principio, por lo tanto para mi la ecuación dada no corresponde a ninguna cónica ...¿o me equivoco?

[sugata]

Te equivocas.
Toda ecuación polinomica con términos en x e y cuyo máximo exponente sea cuadrado, son cónicas.

\( Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \)

Es una cónica. Ahora solo tienes que mirar los coeficientes de los máximos exponentes.

Las que conoces, por ejemplo la parábola, podrías girarla \( 30^\circ{} \) y seguiría siendo una parábola, pero con una ecuación más larga.

[cristhiam]

primero gracias por responder Sugata...

ok entonces si es cónica... pero aun no comprendo  , se que los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales (-3), pero no obedece a ninguno de los principios que me dijo mi profesor de clase... ¿Porque? ....¿o acaso es una circunferencia?:

Una cónica es una CIRCUNFERENCIA, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son iguales.
Una cónica es un ELIPSE, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son desiguales.
Una cónica es una HIPÉRBOLA, si uno de los términos cuadráticos es negativo.
Una cónica es una PARÁBOLA, si un único termino es cuadrático.

[sugata]

Esa ecuación multiplicada por -1 y dividida por 3, ¿sigue siendo la misma?

\( x^2+y^2-\color{red}25\color{black}=0 \)
\( -x^2-y^2+25=0 \)

¿Tienen las mismas soluciones?

En la segunda tengo ambos términos cuadráticos negativos.

Edito por fallo en radio.

[Fernando Revilla]

Hola, estoy estudiando superficies cónicas, me han dado las siguientes claves para reconocer a que tipo de cónica corresponde una ecuación dada, las claves son estas:
Una cónica es una CIRCUNFERENCIA, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son iguales.
Una cónica es un ELIPSE, si tengo términos cuadráticos positivos y los coeficientes son desiguales.
Una cónica es una HIPÉRBOLA, si uno de los términos cuadráticos es negativo.
Una cónica es una PARÁBOLA, si un único termino es cuadrático.

Esas claves son imprecisas y pueden conducir a lamentables errores. Existen cuadros completos de clasificación ¿no te los han dado?
Por ejemplo, a) \( x^2 -4xy +2y^2=0 \) según esas claves sería una elipse, sin embargo es un par de rectas reales secantes. Oro ejemplo, \( x^2-2xy+y^2-6x+4y+1=0 \) sería según esas claves una circunferencia y sin embargo es una parábola, etc.

P.D.1. Aquí (problema 2) aparece un cuadro completo de clasificación.
P.D.2. Se te olvidaron los acentos en el título.

[sugata]

Yo di por bueno lo que le habían dicho.
La verdad es que yo estudié cónicas a fondo en álgebra, viendo los determinantes y cosas de esas.
Estuve pensando cuando leí lo de Diario_oasis que se podrían clasificar así analizando determinantes, pero acabo de llegar a casa y no pude mirarlo.
Lo que dice Fernando, como siempre, tiene razón.

[Fernando Revilla]

Lo que dice Fernando, como siempre, tiene razón.

La tienen las matemáticas, yo sólo soy un humilde exégeta de las mismas. 

[sugata]

Lo que dice Fernando, como siempre, tiene razón.

La tienen las matemáticas, yo sólo soy un humilde exégeta de las mismas. 

Y sabe de letras.
He tenido que buscar exégeta en la RAE.
Un saludo, maestro.