Hola
Hola, me gustaría me ayudaran con una duda.
Sé que un hiperboloide es una superficie de revolución, generada al rotar una hiperbola, alrededor de un eje de simetria.
Digamos que mi hipérbola tiene la forma \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)
y la rota alrededor del eje y, obtendría un hiperboloide con ecuación:
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \)
Mi duda radica en como obtengo esa c.
por ejemplo en el caso particular roto la hiperbola
\( \displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1 \)
alrededor del eje y, cual seria la ecuación del hiperboloide que se genera, al rotar dicha hiperbola alrededor del eje y.
Mil gracias. Estoy muy confundido.
Dos cosas:
1) No todo hiperboloide es de revolución. Es decir, en general un hiperboloide de la forma:
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}-\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1 \)
no es de revolución. Lo será si \( a=b \) (ojo, porque esa \( a \) y esa \( b \) no son las de la hipérbola que manejamos después cuando pensamos en el proceso inverso).
2) Si ahora partimos de la hipérbola:
\( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)
y queremos rotarla entorno al eje \( OY \), en primer lugar la metemos en el espacio haciendo un cambio de variable \( y=z \), para que en tres dimensiones la rotación se haga entorno al eje \( OZ \).
\( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{b^2}=1 \)
Ahora la coordenada \( x \) es el radio de la circunferencia sección y por tanto en vez de \( x^2 \) ponemos \( x^2+y^2 \).
\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{b^2}=1 \)
Saludos.
