[billy]

Hola.
Necesito alguna sugerencia para el siguiente ejercicio. Sea E un espacio de Banach. Si \( f\in{C(
[0,\infty),E)} \), entonces

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{h}\displaystyle\int_{t}^{t+h}f(s)ds} =f(t) \)


Gracias y saludos

[Lagu]

Saludos, la verdad no tengo muy claro el concepto de espacio de Banach, o al menos leí la definicion, si tu intención es demostrar la relación lo puedes hacer con el Teorema fundamental del Calculo:

\(
\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{h}\displaystyle\int_{t}^{t+h}f(s)d(s){}
 \)

\(
\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{F(t+h)-F(t)}{h}{}
 \)

Ahora claramente tienes la definición de derivada y como tal llegas

\(
F'(t) = f(t)
 \)

Si malentendi tu pregunta disculpa.

[billy]

Pero el espacio al que llega tu función F es
E que es de banach. Podría aplicarse ese teorema allí?

[Luis Fuentes]

Hola

Pero el espacio al que llega tu función F es
E que es de banach. Podría aplicarse ese teorema allí?

Aquí tienes un documento donde se desarrolla la teoría de la integral de Riemann en espacios de Bannach:

http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-02-03/Lecture_Notes/chap4.pdf

En concreto en la página 4 y el Teorema 4.9 se explica el teorema fundamental del cálculo intregral.

Si quieres usar un resultado más débil, puedes tener en cuenta que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{h}\displaystyle\int_{t}^{t+h}f(s)ds} =f(t) \)

equivale a:

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{h}\displaystyle\int_{t}^{t+h}(f(s)-f(t))ds} =0 \)

y

\( \left\|\displaystyle\int_{t}^{t+h}(f(s)-f(t))ds\right\|\leq h\cdot \displaystyle\sup_{s\in[t,t+h]}\|f(s)-f(t)\| \)

Por tanto:

\( \left\|\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_{t}^{t+h}(f(s)-f(t))ds\right\|\leq \displaystyle\sup_{s\in[t,t+h]}\|f(s)-f(t)\| \)

Por continuidad de \( f \), cuando \( h\to 0 \), \( \displaystyle\sup_{s\in[t,t+h]}\|f(s)-f(t)\|\to 0. \)

Saludos.

P.D. Me he dado cuenta ahora que titulaste: Integral de Bochner, que en realidad generaliza la integral de Lebesgue (y no la de Riemann) a espacios de Bannach. De todas formas igual que para funciones reales, ambas integrales coinciden sobre funciones Riemann integrables y en particular sobre funciones continuas, así que la prueba indicada sigue funcionando.

Por si quieres otro punto de vista, tienes probado un resultado similar pero más general (para funciones no necesariamente continuas, tan sólo Bochner integrables) en este documento:

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pdes/ch6A.pdf

En la página 7, Teorema 6.32.