Hola
Se aplica el principio de la energía :
\( \Delta \ Ec=W_f \)
Donde \( \Delta \ Ec=Ec_f-Ec_i \) es la variación de la energía cinética (Energia cinética final menos la energia cinética inicial) y \( W_f=W_g \) es el trabajo de las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo, en este caso la única fuerza es la gravitatoria. Luego se tiene, la Ecuación principal :
\( Ec_f-Ec_i=W_g \)
Por definición se tiene :
\( Ec_f=\displaystyle\frac{1}{2}\ m_c \ v_e^2 \)
Donde
\( m_c \) es la masa del cuerpo y \( v_e=11200 \ \displaystyle\frac{m}{s} \) es la velocidad de escape.
\( Ec_i=\displaystyle\frac{1}{2}\ m_c \ v_i^2 \)
Donde \( v_i \) es la velocidad inicial, la incógnita.
\( W_g=K\ m_c \ m_T \ (\displaystyle\frac{1}{r}-\displaystyle\frac{1}{R}) \)
Donde
K=6.6732(10)^{-11} es la constante de gravitación universal
\( m_T=5.9722(10)^24 \) es la masa de la tierra
\( R=6371000 \) es el radio medio de la tierra.
\( r \) es la distancia al centro de la tierra, hasta donde llega el cuerpo al ser lanzado, con velocidad \( v_i \). En este caso por llegar a la velocidad de escape
muy lejos de la tierra se considera \( r=+\infty\Rightarrow{W_g=-K\ m_c \ m_T \ \displaystyle\frac{1}{R}} \)
Sustituyendo en la ecuación principal :
\( \displaystyle\frac{1}{2}\ m_c \ v_e^2-\displaystyle\frac{1}{2}\ m_c \ v_i^2=-K\ m_c \ m_T \ \displaystyle\frac{1}{R} \)
Desarrollando y simplificando :
\( v_i=\sqrt[ ]{v_e^2+\displaystyle\frac{2\ K\ m_T}{R}} \)
Saludos
