Hola
Hola buenos días,
A partir de estos 4 axiomas me piden demostrar esos teoremas, pero ni siquiera logro visualizar
El dibujo.
Les agradezco la ayuda
Hagamos que a,b,c,d,e,f,g designen ciertos objetos llamados “puntos”.
Definición. Una “recta” es una colección de dos o más puntos.
Supóngase que las “rectas” y los “puntos” satisfacen los siguientes axiomas.
Axioma 1. Cada para de rectas tiene un punto en común.
Axioma 2. Todas las rectas contienen el mismo número de puntos.
Axioma 3. Cada para de puntos debe determinar exactamente una recta.
Axioma 4. Hay más de una recta.
Demostrar que:
Teorema 1. Todo punto debe estar exactamente sobre tres rectas.
Teorema 2. Hay siete rectas.
¿Cómo se usa el axioma 4?
Como primer comentario, si no imponemos el axioma 4, un modelo con una única recta con los siete puntos cumpliría todos los otros axiomas.
Ahora veamos en primer lugar cuantos puntos tiene cada recta:
- En primer lugar de A1 y A3 se deduce P1: cada par de rectas se cortan exactamente en un punto.
- Si las rectas tienen \( 5 \) o más puntos, y dado que por A4 al menos hay dos rectas, entonces tales rectas se intersecarían en dos o más puntos: descartado por P1.
- Por A3 las rectas al menos tienen dos puntos.
- Si las rectas tuvieran exactmente dos puntos por A3, habría una recta \( ab \) y otra \( cd \) que no se intersecarían, contradiciendo A1.
- Si las rectas tuvieran cuatro puntos, entonces dada una recta (sin pérdida de generalidad la supongo formada por los cuatro primeros puntos) \( abcd \), por A3 existe otra recta distinta por \( a \) y \( e \); por P1 esa otra recta sólo tiene en común con la primera el punto \( a \) y así es \( afgh \). Pero entonces por A3 también existe una recta de cuatro puntos por \( b \) y \( f \), que por P1 no puede tener más puntos en común que esos dos con las anteriores lo cual es imposible.
- Conclusión P2. Toda recta tiene exactamente tres puntos.
- Ahora dado un punto (sin pérdida de generalidad \( a \)) hay a lo sumo seis rectas que lo contienen, las que los unen con los seis puntos restantes; lo que pasa que pueden ser repetidas. Ahora si de todas ellas retiramos el punto a, lo que queda de cada una de ellas (dos puntos) no puede tener más puntos en común (por P1). Por tanto los seis puntos se reparten en subconjuntos disjuntos de dos elementos; necesariamente en tres subconjuntos dijsjuntos. Deducimos T1.
Intenta tu el Teorema 2.
Saludos.
P.D. Un modelo de esta geometría es el plano proyectivo sobre el cuerpo \( \mathbb{Z}_2. \) ¿Sabes como se construye?.
