[Unicono]

Fijando la referencia cartesiana {\( E,\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EC} \)}, designamos por \( (b,0) \) las coordenadas de \( B \) y \( (0,d) \) las coordenadas de \( D \)

A, calcula las coordenadas del punto \( F \)
B, demuestra que los puntos medios del segmento \( AC \),\( BD \),\( EF \) estan alienados.

Con esa referencia cartesiana, el punto \( E=(0,0) \) y \( A=(1,0) \), \( C=(0,1) \)
Tengo problemas para calcular las coordenadas de \( F \). Mi idea es que \( F=E+\overrightarrow{EA}+\lambda\overrightarrow{AD} \). Entonces \( F=(0,0)+(1,0)+\lambda(-1,d) \). \( F=((1-\lambda), \lambda d) \). Es correcto?.

Luego para el segundo apartado. Calculo las coordenadas de los puntos \( AC \),\( BD \) y \( EF \), que son \( (1/2,1/2),(b/2,d/2),((1-\lambda)/2, \lambda d/2) \). Entonces calculo la ecuación de la recta de 2 puntos y para comprobar que el tercer punto esta alienado susituyo ese punto en la ecuación de la recta que he calculado. Cuando hago eso, me queda una gran ecuación con muchas incógnitas que no se resolver.

¿He calculado bien \( F \)?
¿Cómo compruebo que los tres puntos estan alineados? Mi idea es buena, o hay alguna otra forma más fácil de comprobarlo?

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Fijando la referencia cartesiana {\( E,\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EC} \)}, designamos por \( (b,0) \) las coordenadas de \( B \) y \( (0,d) \) las coordenadas de \( D \)

A, calcula las coordenadas del punto \( F \)
B, demuestra que los puntos medios del segmento \( AC \),\( BD \),\( EF \) estan alienados.

Con esa referencia cartesiana, el punto \( E=(0,0) \) y \( A=(1,0) \), \( C=(0,1) \)
Tengo problemas para calcular las coordenadas de \( F \). Mi idea es que \( F=E+\overrightarrow{EA}+\lambda\overrightarrow{AD} \). Entonces \( F=(0,0)+(1,0)+\lambda(-1,d) \). \( F=((1-\lambda), \lambda d) \). Es correcto?.

Ahí sólo utilizas que \( F \) está en la recta que une \( A \) y \( D \) pero no que \( F \) es de hecho la intersección de la recta \( BC \) y la recta \( AD \).

En la referencia dada tienes: \( A=(1,0) \) y \( D=(0,d) \). La ecuación canónica de la recta que une ambos puntos es:

\( \dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{d}=1 \)

Spoiler

No es más que la ecuación implícita de la recta que une dos puntos. Supongo que sabes calcularla. En otro caso pregunta.

[cerrar]

Por otra parte \( B=(b,0) \) y \( C=(0,1). \) La ecuación de la recta que los une:

\( \dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{1}=1 \)

Intersecamos ambas resolviendo el sistema que forman y obtenemos:

\( F=\left(\dfrac{bd-b}{bd-1},\dfrac{bd-d}{bd-1}\right) \)

Luego para el segundo apartado. Calculo las coordenadas de los puntos \( AC \),\( BD \) y \( EF \), que son \( (1/2,1/2),(b/2,d/2),((1-\lambda)/2, \lambda d/2) \). Entonces calculo la ecuación de la recta de 2 puntos y para comprobar que el tercer punto esta alienado susituyo ese punto en la ecuación de la recta que he calculado. Cuando hago eso, me queda una gran ecuación con muchas incógnitas que no se resolver.

Los puntos medios de \( AC,BD,EF \) son respectivamente:

\( M_1=(1/2,1/2),\,M_2=(b/2,d/2),\, M_3=\left(\dfrac{bd-b}{2(bd-1)},\dfrac{bd-d}{2(bd-1)}\right) \)

Para ver que son paralelos basta comprobar que las coordenadas del vector \( \overrightarrow{M_1M_2} \) son proporcionales a las de \( \overrightarrow{M_1M_3} \).

Termina...

Saludos.


P.D. Las imágenes con las que quieras ilustrar tus preguntas, debes de adjuntarlas al mensaje y no enlazarlas en servidores externos al foro. Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

Aquí se explica como hacerlo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

[Unicono]

Gracias por tu respuesta,

Lo he entendido todo perfectamente, únicamente tengo una duda:

Para calcular la ecuación de la recta usas la ecuación canónica, yo personalmente estoy mas acostumbrado a usar la ecuación contínua de la recta \( \displaystyle\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\displaystyle\frac{y-y_1}{y_2-y_1} \).

En este caso seria \( \displaystyle\frac{x-1}{0-1}=\displaystyle\frac{y-0}{d-0} \). En vez de usar la ecuacion canónica de la recta, esta también me serviria, no?

PD: Disculpa lo de la imagen, he leído las normas del foro por encima y no me habia fijado en esto. A partir de ahora adjuntaré las imágenes al mensaje.

[Luis Fuentes]

Hola

Para calcular la ecuación de la recta usas la ecuación canónica, yo personalmente estoy mas acostumbrado a usar la ecuación contínua de la recta \( \displaystyle\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\displaystyle\frac{y-y_1}{y_2-y_1} \).

En este caso seria \( \displaystyle\frac{x-1}{0-1}=\displaystyle\frac{y-0}{d-0} \). En vez de usar la ecuacion canónica de la recta, esta también me serviria, no?

Si, por supuesto. Hay muchas formas de hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos; todas equivalentes, claro.

Saludos.