Hola.
En una de mis 'rayadas mentales' se me cruzó la siguiente cuestión: ¿todas las figuras tienen definidas un centro no importa cuán regular (o irregular) sea? Por ejemplo: ¿un círculo de radio infinito tiene definido un centro? Bueno, inmediatamente resalta a la vista la informalidad de la pregunta, así que intenté precisar más: pensé y busqué una definición adecuada de figura, regular, 'centro de una figura' y, para la segunda y tercera, en mi sorpresa, no encontré 'una mejor que otra'.
Preciso un poco más, y voy a definir como figura todo subconjunto del plano, y como 'centro de una figura' al baricentro (también conocido como centroide) de ésta. En cuanto a la regularidad o irregularidad, voy a dejarlo en el aire pues creo que no afecta al quid de la cuestión, pues entre mis divagaciones encontré ejemplos que no afectaban a la existencia del centroide e insultaban a la noción típica de 'figura regular' y 'figura irregular'. Por supuesto, esto es una pregunta abierta, y si alguien se anima a pensar en la pregunta con otro tipo de definición de figura, o centro de una figura, o cualquiera que sea el término, adelante, estaré igual o más interesado en vuestros comentarios (me suscitan mucha curiosidad las distintas definiciones de 'centro de una figura'). La razón por la cual escogí tales definiciones de figura y centroide es puramente por comodidad personal con el uso de éstas.
Bueno, puestos ya un poco en contexto, os cuento a lo que he llegado yo (no está demostrado y no sé si es correcto o no, porque en geometría me siento muy inseguro normalmente, es siempre la parte que más me ha costado de las matemáticas):
Primero, pensé en conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Después en conjuntos medibles y conjuntos no medibles. Intenté crear una forma tal que no sea integrable (aunque no estoy seguro de si requeriría el axioma de elección), lo que me negaría la existencia del centroide. Pensé en el conjunto \( \{ (x, y): y \geq 0, -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} \} \) y llegué a la conclusión de que no se le podía definir un centroide. Pensando de este modo llegué a la conlusión de que existían conjuntos infinitos que sí tenían definido un centroide (la integral converge). Después pensé en una estrella, que consiste en los segmentos de línea que parten del origen a cualquier punto irracional de la circunferencia de radio unidad. Es obvio que existe un centroide para esta. Pero, ¿y si consideramos, en vez de los puntos irracionales, los racionales? Esto fue lo que insultó a mi noción de figura regular o irregular. Creo que no se le podría definir un centroide aunque no estoy seguro. Después, establecí que los conjuntos infinitos, aquellos con medida cero, y los conjuntos no medibles, era muy posible que no tuvieran centroide. Luego establecí la siguiente conjetura: Cualquier conjunto con un área (en el sentido usual) finita debe tener un centroide). Luego pensé también en ella considerando sólo conjuntos con medida finita, para los cuales vi que era falsa con un contraejemplo: \( \{n + x ; n \in \mathbb{Z}, x \in [0,n^-2]\} \) cuya medida es finita y distinta de cero, pero no se le puede definir un centroide. Ya con un tono más formal intenté construir con los
conjuntos de Vitali un ejemplo de figura infinita y no medible. Pero no llegé a nada. De todo esto lo que saqué en claro es que, para un conjunto finito con área definida no nula existe el centroide.
Aparte de esto, también se me pasó por la cabeza si los 'métodos de suma' para series divergentes podrían también ser aplicados para encontrar el centroide de una región que carece de uno acorde a la definición clásica de centroide. Y ya, a modo de anécdota, intenté construir una barra de hierro ordenando sus átomos en puntos del conjunto racional. Esta curiosa barra tendría masa nula sea cual fuera sus proporciones, y es totalmente no conexa.
Bueno, cualquier comentario acerca de este tema es bienvenido, sea cual sea la definición que se maneje de los términos ambigüos citados en este post, como ya comenté al principio del tema.
Saludos!
